Limite con sviluppi di Taylor Mac laurin
Salve ragazzi ho un problema nello sviluppo di questo limite:
$\lim_{x \to \infty}e^(2x)(1-x^-1ln(e^x-xe^(1-x)))$
Non so come procedere mi faccio lo sviluppo del primo fattore e poi?
$\lim_{x \to \infty}e^(2x)(1-x^-1ln(e^x-xe^(1-x)))$
Non so come procedere mi faccio lo sviluppo del primo fattore e poi?
Risposte
si tratta di usare qualche proprietà dei logaritmi.
$e^(2x)[1-1/xlog(e^x(1-xe^(1-2x)))]=e^(2x)(-1/xlog(1-xe^(1-2x)))~~ -e^(2x+1-2x)=-e$
$e^(2x)[1-1/xlog(e^x(1-xe^(1-2x)))]=e^(2x)(-1/xlog(1-xe^(1-2x)))~~ -e^(2x+1-2x)=-e$
Ciao Roxy98,
Giusto, e non sono neanche necessari gli sviluppi, bastano i limiti notevoli:
$ \lim_{x \to +\infty} e^(2x)(1-x^-1ln(e^x-xe^(1-x))) = \lim_{x \to +\infty} e^(2x)[1-1/xln(e^x(1-xe^(1-2x)))] = $
$ = \lim_{x \to +\infty} e^(2x)[-1/xln(1-xe^(1-2x))] = e \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(1-xe^(1-2x))}{- x e^{1 - 2x}} = e \cdot 1 = e $
"cooper":
si tratta di usare qualche proprietà dei logaritmi.
Giusto, e non sono neanche necessari gli sviluppi, bastano i limiti notevoli:
$ \lim_{x \to +\infty} e^(2x)(1-x^-1ln(e^x-xe^(1-x))) = \lim_{x \to +\infty} e^(2x)[1-1/xln(e^x(1-xe^(1-2x)))] = $
$ = \lim_{x \to +\infty} e^(2x)[-1/xln(1-xe^(1-2x))] = e \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(1-xe^(1-2x))}{- x e^{1 - 2x}} = e \cdot 1 = e $
Grazie per la risposta,ma non comprendo a pieno cosa avete fatto nel log avete raccolto per $e^x$ e poi?
"Roxy98":
mi faccio lo sviluppo del primo fattore e poi?
Volevi sviluppare $e^{2x}$ con Taylor?
"Roxy98":
e poi?
Hanno usato che $\ln(ab)=\lna +\lnb$, con $a=e^x$ e $b=1-xe^{1-2x}$.
Quindi si ha
$$-\frac{\ln\left[e^x\left(1-xe^{1-2x}\right)\right]}{x}=-\frac{\ln e^x +\ln\left(1-xe^{1-2x}\right)}{x}=-\frac{\ln e^x}{x}-\frac{\ln\left(1-xe^{1-2x}\right)}{x}=-1-\frac{\ln\left(1-xe^{1-2x}\right)}{x}$$
Capisco, ma l'ultimo passaggio quella e per il limite da cosa è uscita?
"Roxy98":
Capisco, ma l'ultimo passaggio quella e per il limite da cosa è uscita?
E' uscita perché si è moltiplicato numeratore e denominatore per $e$ per far comparire a denominatore il termine $- x e^{1- 2x} $, lo stesso che compare all'interno dell'argomento del logaritmo...
"pilloeffe":
Ciao Roxy98,
[quote="cooper"]si tratta di usare qualche proprietà dei logaritmi.
Giusto, e non sono neanche necessari gli sviluppi, bastano i limiti notevoli:
$ \lim_{x \to +\infty} e^(2x)[1-1/xln(e^x(1-xe^(1-2x)))] = $
$ = \lim_{x \to +\infty} e^(2x)[-1/xln(1-xe^(1-2x))] = $[/quote]
Ultime due domande come mai $1-1/x$ è solo $-1/x$ nel dopo l'uguale? Inoltre dovrei moltiplicare $e^(2X) x^(-1) $ma non diventa semplicemente $e^(2x)/x$? inoltre è inutile non mi entreranno mai in testa questi trucchetti algebrici così stupidi(moltiplica e dividi)
l'1 si semplifica.
$1-[1/xloge^x-1/xlog(1-xe^(1-2x))]=1-1/xloge^x -1/xlog(1-xe^(1-2x))=1-x/xloge-1/xlog(1-xe^(1-2x))=1-1-1/xlog(1-xe^(1-2x))=-1/xlog(1-xe^(1-2x))$
attenta che $e^(2x) != e^2 * x$
$1-[1/xloge^x-1/xlog(1-xe^(1-2x))]=1-1/xloge^x -1/xlog(1-xe^(1-2x))=1-x/xloge-1/xlog(1-xe^(1-2x))=1-1-1/xlog(1-xe^(1-2x))=-1/xlog(1-xe^(1-2x))$
"Roxy98":
Inoltre dovrei moltiplicare e2Xx^(-1) ma non diventa semplicemente e2xx?
attenta che $e^(2x) != e^2 * x$
"cooper":
attenta che $e^(2x) != e^2 * x$
Si, lo so ma non ho capito cosa vuoi dire
$e^(2x) * 1/x$ non dovrebbe essere uguale a $e^(2x)/x$?
è esattamente così. non vedo quale sia il problema di lasciarlo scritto così. lo lasci così, usi il limite notevole del logaritmo e vedi che la x a denominatore (quella che ora non se ne va) si semplifica con la x che c'è come argomento del logaritmo e che si troverà, dopo limite notevole, a numeratore.
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