Limite con sviluppi di taylor

Meander
Buonasera a tutti! sono nuovo nel forum e ho urgente bisogno di aiuto :-)
Non riesco a risolvere questo limite attraverso le serie di taylor:


$ lim_(x -> 0) ( arctan(x^2)-2(arctan(x ) )^(2) +(x)^(2) ) / ((sqrt(1+sin(ln(1+2x^2))) -1-x^2) $

Potreste darmi una mano? ho provato a sviluppare diverse volte ma mi sono sempre perso in quelle che trovavo....
Il risultato corretto è -8/9
Grazie a tutti :-)

p.s. la freccia alla fine del denominatore non c'entra nulla ma non so come eliminarla....

Risposte
pater46
Beh dai... Dal numeratore si evince che la semplice prima approssimazione non basti. Al secondo ordine viene fuori:

$ -x^4( 5x^2/9 - 2/3 ) $

Per il numeratore stesso discorso... prova a sviluppare e vediamo cosa esce fuori!

Meander
Innanzitutto grazie per la risposta

Comunque il problema sta proprio nello sviluppo del denominatore, essendo una composizione di funzioni, mi trovo in difficoltà.
Il punto è che ho già provato a farlo diverse volte ma mi incastro sempre, quindi avrei bisogno (ma non pretendo che nessuno si metta a farlo sia chiaro ^^) di vederlo svolto... grazie comunque..

pater46
Cominciamo con la radice: $ \sqrt{ 1 + x } = 1+1/2x-1/8x^2 + o(x^2) $

Nel tuo caso: $1+1/2( sin( ln ( 1+2x^2) ) ) - 1/8 ( sin( ln ( 1+2x^2) ) )^2 $

Ora sviluppiamo il seno ed il logaritmo, che in prima approssimazione valgono: $ ln(1+x) \approx sin(x) \approx x $

$1+1/2( 2x^2 ) - 1/8 ( 2x^2 )^2 = 1 + x^2 - 1/2x^4$

Complessivamente allora il denominatore è approssimabile a:

$ 1 + x^2 - 1/2x^4 -1 - x^2 = -1/2 x^4$

Il limite allora lo potremmo riscrivere:

$ lim_{x->o} \frac{ x^4( 5x^2/9 -2/3 ) }{ -1/2 x^4 } = -4/3 $

Ora, non è il tuo risultato. I casi sono 2:
- 1) ho sbagliato a fare qualche calcolo
- 2) avrei dovuto sviluppare seno e logaritmo fino al secondo ordine

quindi.. mi accontento di averti dato uno spunto di risoluzione! :D

Meander
Grazie mille per la spiegazione esaustiva! Mi sei stato di grandissimo aiuto :-D

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