Limite con sviluppi di taylor
Buonasera a tutti! sono nuovo nel forum e ho urgente bisogno di aiuto 
Non riesco a risolvere questo limite attraverso le serie di taylor:
$ lim_(x -> 0) ( arctan(x^2)-2(arctan(x ) )^(2) +(x)^(2) ) / ((sqrt(1+sin(ln(1+2x^2))) -1-x^2) $
Potreste darmi una mano? ho provato a sviluppare diverse volte ma mi sono sempre perso in quelle che trovavo....
Il risultato corretto è -8/9
Grazie a tutti
p.s. la freccia alla fine del denominatore non c'entra nulla ma non so come eliminarla....
Non riesco a risolvere questo limite attraverso le serie di taylor:
$ lim_(x -> 0) ( arctan(x^2)-2(arctan(x ) )^(2) +(x)^(2) ) / ((sqrt(1+sin(ln(1+2x^2))) -1-x^2) $
Potreste darmi una mano? ho provato a sviluppare diverse volte ma mi sono sempre perso in quelle che trovavo....
Il risultato corretto è -8/9
Grazie a tutti
p.s. la freccia alla fine del denominatore non c'entra nulla ma non so come eliminarla....
Risposte
Beh dai... Dal numeratore si evince che la semplice prima approssimazione non basti. Al secondo ordine viene fuori:
$ -x^4( 5x^2/9 - 2/3 ) $
Per il numeratore stesso discorso... prova a sviluppare e vediamo cosa esce fuori!
$ -x^4( 5x^2/9 - 2/3 ) $
Per il numeratore stesso discorso... prova a sviluppare e vediamo cosa esce fuori!
Innanzitutto grazie per la risposta
Comunque il problema sta proprio nello sviluppo del denominatore, essendo una composizione di funzioni, mi trovo in difficoltà.
Il punto è che ho già provato a farlo diverse volte ma mi incastro sempre, quindi avrei bisogno (ma non pretendo che nessuno si metta a farlo sia chiaro ^^) di vederlo svolto... grazie comunque..
Comunque il problema sta proprio nello sviluppo del denominatore, essendo una composizione di funzioni, mi trovo in difficoltà.
Il punto è che ho già provato a farlo diverse volte ma mi incastro sempre, quindi avrei bisogno (ma non pretendo che nessuno si metta a farlo sia chiaro ^^) di vederlo svolto... grazie comunque..
Cominciamo con la radice: $ \sqrt{ 1 + x } = 1+1/2x-1/8x^2 + o(x^2) $
Nel tuo caso: $1+1/2( sin( ln ( 1+2x^2) ) ) - 1/8 ( sin( ln ( 1+2x^2) ) )^2 $
Ora sviluppiamo il seno ed il logaritmo, che in prima approssimazione valgono: $ ln(1+x) \approx sin(x) \approx x $
$1+1/2( 2x^2 ) - 1/8 ( 2x^2 )^2 = 1 + x^2 - 1/2x^4$
Complessivamente allora il denominatore è approssimabile a:
$ 1 + x^2 - 1/2x^4 -1 - x^2 = -1/2 x^4$
Il limite allora lo potremmo riscrivere:
$ lim_{x->o} \frac{ x^4( 5x^2/9 -2/3 ) }{ -1/2 x^4 } = -4/3 $
Ora, non è il tuo risultato. I casi sono 2:
- 1) ho sbagliato a fare qualche calcolo
- 2) avrei dovuto sviluppare seno e logaritmo fino al secondo ordine
quindi.. mi accontento di averti dato uno spunto di risoluzione!
Nel tuo caso: $1+1/2( sin( ln ( 1+2x^2) ) ) - 1/8 ( sin( ln ( 1+2x^2) ) )^2 $
Ora sviluppiamo il seno ed il logaritmo, che in prima approssimazione valgono: $ ln(1+x) \approx sin(x) \approx x $
$1+1/2( 2x^2 ) - 1/8 ( 2x^2 )^2 = 1 + x^2 - 1/2x^4$
Complessivamente allora il denominatore è approssimabile a:
$ 1 + x^2 - 1/2x^4 -1 - x^2 = -1/2 x^4$
Il limite allora lo potremmo riscrivere:
$ lim_{x->o} \frac{ x^4( 5x^2/9 -2/3 ) }{ -1/2 x^4 } = -4/3 $
Ora, non è il tuo risultato. I casi sono 2:
- 1) ho sbagliato a fare qualche calcolo
- 2) avrei dovuto sviluppare seno e logaritmo fino al secondo ordine
quindi.. mi accontento di averti dato uno spunto di risoluzione!
Grazie mille per la spiegazione esaustiva! Mi sei stato di grandissimo aiuto 
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