Limite con sviluppi di Taylor?

[MementoMori2]

Ragazzi, sto risolvendo questo limite con gli sviluppi:

$ lim (per t->0) 1/t^4 (log(cost) + 1/2 *t^2) $

Approssimando $ cos(t)= 1 - t^2/2 + t^4 / (!4) + o(t^5) $
ma se approssimo il $ log(s+1) = s + o (s) $ , il limite è uguale a = $ 1/24 $

Mentre approssimando il $ log(s+1) = s - s^2/2 + o (s^2) $ il limite è uguale a $ - 1/12 $ come riportato sul testo.

Salvo errori di calcolo, dato che i due limiti esistono e sono finiti per quale motivo dovrei sviluppare ulteriormente il logaritmo quando ho già un risultato finito ?

[MementoMori2]

"TeM":Bada bene che, correttamente, si ha: \[ \begin{aligned} \lim_{t \to 0} \frac{\log(\cos t) + \frac{t^2}{2}}{t^4} & = \lim_{t \to 0} \frac{\log\left(1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + o\left(t^4\right)\right) + \frac{t^2}{2}}{t^4} \\ & = \lim_{t \to 0} \frac{\left[\left(- \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + o\left(t^4\right)\right) - \frac{1}{2}\left(- \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + o\left(t^4\right)\right)^2\right] + \frac{t^2}{2}}{t^4} \\ & = \lim_{t \to 0} \frac{\left[\left(- \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + o\left(t^4\right)\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{t^4}{4} + o\left(t^4\right)\right)\right] + \frac{t^2}{2}}{t^4} \\ & = \lim_{t \to 0} \frac{-\frac{t^4}{12}\,(1 + o(1))}{t^4} \\ & = -\frac{1}{12} \; . \end{aligned} \] Va da sé che non considerando il termine quadratico dello sviluppo del logaritmo si trascurerebbero dei termini
non infinitesimi (ossia di grado non superiore al quarto) e quindi il risultato del limite risulterebbe falsato.

Si questo è chiaro, ma la mia domanda verteva sulla diversa approssimazione di log(s+1) una con $ log(s) = s+ o(s) $ e l'altra $ log(s)= s-s^2/2 + o(s^2) $

[MementoMori2]

"TeM":Bada bene che, correttamente, si ha: \[ \begin{aligned} \lim_{t \to 0} \frac{\log(\cos t) + \frac{t^2}{2}}{t^4} & = \lim_{t \to 0} \frac{\log\left(1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + o\left(t^4\right)\right) + \frac{t^2}{2}}{t^4} \\ & = \lim_{t \to 0} \frac{\left[\left(- \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + o\left(t^4\right)\right) - \frac{1}{2}\left(- \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + o\left(t^4\right)\right)^2\right] + \frac{t^2}{2}}{t^4} \\ & = \lim_{t \to 0} \frac{\left[\left(- \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + o\left(t^4\right)\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{t^4}{4} + o\left(t^4\right)\right)\right] + \frac{t^2}{2}}{t^4} \\ & = \lim_{t \to 0} \frac{-\frac{t^4}{12}\,(1 + o(1))}{t^4} \\ & = -\frac{1}{12} \; . \end{aligned} \] Va da sé che non considerando il termine quadratico dello sviluppo del logaritmo si trascurerebbero dei termini
non infinitesimi (ossia di grado non superiore al quarto) e quindi il risultato del limite risulterebbe falsato.

Si , giusto, me ne sono accorto svolgendo un altro esercizio adesso, grazie, buona giornata