Limite con sviluppi asintotici

[thedarkhero]

$a>0$
$lim_(x->0+)[e^(x^a)-1-x^a-x^4/2]/[sin(x)+acrtan(x^a)]=lim_(x->0+)[1+x^a+o(x^a)-1-x^a-x^4/2]/[x-x^3/6+o(x^4)+x^a+o(x^(2a))]=lim_(x->0+)[-x^4/2+o(x^a)]/[x+o(x^3)+x^a+o(x^(2a))]$
Fino a qui è corretto?
Se si, i casi da studiare dovrebbero essere:
$a<1$
$a=1$
$1 $a=4$
$4 giusto?

[IlaCrazy]

Ho dato un'occhiata veloce... ma mi sembra corretto!

[thedarkhero]

Indipendentemente da a mi viene sempre 0, è giusto?

[adaBTTLS1]

c'è una cosa che non mi convince al numeratore: coniderando che $x^a$ si elimina, secondo me dovresti prendere anche il terzo termine dello sviluppo di $e^(x^a)$, perché non puoi fare un confronto tra una potenza 4 ed un "o piccolo" di una potenza che non conosci...

[thedarkhero]

si l'ho fatto (mi sono dimenticato di correggere sopra) ma mi viene sempre 0, indipendentemente da a...

[adaBTTLS1]

sì, viene sempre zero, anche se a=1 e a=4 non mi pare presentino particolarità interessanti. piuttosto il caso di a=2 che ti "costringe" a scrivere anche il 4° termine al numeratore ...
il limite è sempre zero perché comunque il numeratore ha grado maggiore di 1 ed il denominatore grado minore o uguale a 1 (anche quando a=1 i due termini di primo grado al denominatore non si annullano).