Limite con sostituzione

[Frasandro]

Ciao, avrei un dubbio sulla risoluzione di questo limite: $ lim_(x -> pi) (x-pi)/(sin^2(x)) $

io ho effettuato la seguente sostituzione: $ x-pi=t $ ; $ x=t+pi $ $ x->pi $ diventa $ t->0 $

$ lim_(t-> 0) t/sin^2(t+pi) $ e applicando la formula di addizione $ lim_(t-> 0) t/((sintcospi +costsinpi)(sintcospi +costsinpi)) $ e alla fine mi risulta $ lim_(t -> 0)t/sin^2t $ e adesso come devo procedere? ho pensato al limite notevole $ sint/t = 1 $

grazie

[billyballo2123]

Giusto!
\[
\lim_{t\to 0}\frac{t}{\sin^2 t}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{\frac{\sin^2 t}{t}}=\lim_{t\to 0}\frac{1}{\frac{\sin t}{t}\sin t}
=\lim_{t\to 0}\frac{1}{\sin t}
\]

[Frasandro]

quindi risulta $ +oo $ , giusto?

[kobeilprofeta]

sí

[billyballo2123]

"Frasandro":quindi risulta $ +oo $ , giusto?

Se $t$ tende a $0^+$ si, se invece tende a $0^-$ allora risulta $-\infty$.
Se invece tende semplicemente a $0$, allora il limite non esiste.