Limite con sommatoria
Buongiorno a tutti!
Ho il seguente limite di successione:
$lim_(n->+oo)sum_{h=0}^n 1/sqrt(n+h)$.
Io ho pensato al teorema del confronto sulla convergenza e ho osservato che la successione $a_n=1/sqrt(n+h)$ è decrescente e quindi il limite richiesto deve coincidere con l'estremo inferiore di essa. Come posso procedere? Devo utilizzare entrambe le osservazioni o no?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea.
Ho il seguente limite di successione:
$lim_(n->+oo)sum_{h=0}^n 1/sqrt(n+h)$.
Io ho pensato al teorema del confronto sulla convergenza e ho osservato che la successione $a_n=1/sqrt(n+h)$ è decrescente e quindi il limite richiesto deve coincidere con l'estremo inferiore di essa. Come posso procedere? Devo utilizzare entrambe le osservazioni o no?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea.
Risposte
"Andrea90":
Buongiorno a tutti!
Ho il seguente limite di successione:
$lim_(n->+oo)sum_{h=0}^n 1/sqrt(n+h)$.
Io ho pensato al teorema del confronto sulla convergenza e ho osservato che la successione $a_n=1/sqrt(n+h)$ è decrescente e quindi il limite richiesto deve coincidere con l'estremo inferiore di essa. Come posso procedere? Devo utilizzare entrambe le osservazioni o no?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea.
A mio modesto parere scrivere :
$lim_(n->+oo)sum_{h=0}^n 1/sqrt(n+h)$
o
$sum_{h=0}^infty 1/sqrt(n+h)$.
è la stessa cosa.(secondo me)
quindi:
come hai detto tu è decrescente e dovrebbe convergere a 0...
ora però non vorrei dire bestialità...
Il problema è che ancora non ho trattato le serie. Quindi dovrei calcolare il limite proposto facendo "semplici" considerazioni. Infatti avevo pensato al teorema del confronto (come suggerisce il testo dell'esercizio...)...
$\sum_{h=0}^n \frac{1}{\sqrt{n+h}} > \frac{n+1}{\sqrt{2n}} > \sqrt{\frac{n}{2}}$.
[OT]
Classico esempio di post inutile.
Se vuoi far vedere di "sapere la Matematica", esistono altri forum; qui cerchiamo di spiegarla la Matematica.
[/OT]
"gac":
$\sum_{h=0}^n \frac{1}{\sqrt{n+h}} > \frac{n+1}{\sqrt{2n}} > \sqrt{\frac{n}{2}}$.
Classico esempio di post inutile.
Se vuoi far vedere di "sapere la Matematica", esistono altri forum; qui cerchiamo di spiegarla la Matematica.
[/OT]
"qwerty90":
A mio modesto parere scrivere :
$lim_(n->+oo)sum_{h=0}^n 1/sqrt(n+h)$
o
$sum_{h=0}^infty 1/sqrt(n+h)$.
è la stessa cosa.(secondo me)
quindi:
come hai detto tu è decrescente e dovrebbe convergere a 0...
ora però non vorrei dire bestialità...
Non è esattamente la stessa cosa
Nota infatti che il limite ha come indice n che è presente nella sommatoria. Scrivendo
$sum_{h=0}^infty 1/sqrt(n+h)$ la variabile $n$ diventa un parametro libero
[OT]
@gugo:
Non ci sono problemi.
Eviterò di scrivere altri post inutili.
Mi sembrava di aver capito, però, che in prima battuta bisognava dare solo qualche suggerimento.
Evidentemente ho capito male.
[/OT]
@gugo:
Non ci sono problemi.
Eviterò di scrivere altri post inutili.
Mi sembrava di aver capito, però, che in prima battuta bisognava dare solo qualche suggerimento.
Evidentemente ho capito male.
[/OT]
Per gac. Potresti spiegarmi la prima maggiorazione che hai eseguito?
Sarà la stanchezza ma le cose più semplici mi sembrano complicate.
In ogni caso in questo modo il limite non vale $+oo$?
Sarà la stanchezza ma le cose più semplici mi sembrano complicate.
In ogni caso in questo modo il limite non vale $+oo$?
$\sum_{h=0}^n \frac{1}{\sqrt{n+h}} = \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n+n}}$.
Adesso osservi che ogni termine della sommatoria è $\ge \frac{1}{\sqrt{n+n}} = \frac{1}{\sqrt{2n}}$.
Siccome nella sommatoria ci sono $n+1$ termini, ottieni le stime che ti avevo scritto nel precedente post.
A questo punto puoi applicare il criterio del confronto e concludere che la successione diverge a $+\infty$.
Adesso osservi che ogni termine della sommatoria è $\ge \frac{1}{\sqrt{n+n}} = \frac{1}{\sqrt{2n}}$.
Siccome nella sommatoria ci sono $n+1$ termini, ottieni le stime che ti avevo scritto nel precedente post.
A questo punto puoi applicare il criterio del confronto e concludere che la successione diverge a $+\infty$.
Ok. Perfetto. Tutto chiaro. Quindi nella tua osservazione è implicito che la successione è decrescente. Giusto?
Eventualmente ciò che usi è il fatto che, per $n$ fissato, la successione $b_h = \frac{1}{\sqrt{n+h}$ è decrescente in $h$ (questo ti permette di fare la stima vista prima).
La successione della quale devi calcolare il limite, cioè $c_n = \sum_{h=0}^n \frac{1}{\sqrt{n+h}$, non è invece decrescente, dal momento che diverge a $+\infty$.
La successione della quale devi calcolare il limite, cioè $c_n = \sum_{h=0}^n \frac{1}{\sqrt{n+h}$, non è invece decrescente, dal momento che diverge a $+\infty$.
Ok. Tutto chiaro. Grazie mille!
Andrea
Andrea
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