Limite con seno e tangente

[guasta69]

Salve a tutti ragazzi.
Mi sono imbattuto in questo limite $ lim_(x -> 0) (1+(senx)/sqrtx)^(1/tanx $ . Ho provato ad utilizzare il limite notevole $ (senx)/x=1 $ però risulta sempre $ 1^oo $ .
Ho provato anche a scrivere $ 1/tanx = cosx/sinx $ ottenendo con un cambio di variabile $ sinx=t $ il limite $ lim_(x -> 0) (1+sqrtt)^(1/t) $ ma così facendo ottnego sempre $ 1^oo $
Grazie in anticipo per i suggerimenti su come impostare questo limite

[francicko]

$lim_(x->0^+)(1+sinx/sqrt (x))^(1/tanx)=$ $lim_(x->0^+)(1+sinx/sqrt (x))^(cosx/sinx) $ $=lim_(x->0^+)(1+sinx/sqrt (x))^((sqrt (x)×cosx)/(sinx×sqrt(x))) $ $=lim_(x->0^+)((1+sinx/sqrt(x))^(sqrt (x)/sinx))^(cosx/sqrt(x))$quindi....

[pilloeffe]

Ciao giacomoguasta98,

Il limite che hai proposto non esiste. Esiste invece il limite per $x \to 0^+$ e vale $+\infty$. Infatti si può scrivere:

$lim_{x \to 0^{+}} (1+(\sin x)/sqrt x)^{1/\tanx} = lim_{x \to 0^{+}} (1+ frac{1}{sqrt x/\sin x})^{1/\tanx} = $
$ = lim_{x \to 0^{+}} [(1+ frac{1}{sqrt x/\sin x})^{sqrt x/\sin x}]^{\sin x /sqrt x \cdot 1/\tanx} = lim_{x \to 0^{+}} [(1+ frac{1}{sqrt x/\sin x})^{sqrt x/\sin x}]^{\cos x /sqrt x}$

Tenendo presente i soliti ben noti limiti notevoli e che $lim_{x \to 0^{+}} \cos x /sqrt x = \+infty$, come detto il limite proposto vale $+\infty$.