Limite con risultato dubbio
Buon giorno!
Risolvendo il seguente limite sono arrivato ad una conclusione che mi da un risultato($=1$) diverso rispetto wolframAlpha ($=0$), vorrei sapere dove commetto l'errore
$lim (x to +oo) ((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2+2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)$
Ho prima scomposto la frazione così d'avere
$lim (x to +oo) ((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)+(2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)$
Quindi
$lim (x to +oo) 1+ lim (x to +oo)(2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)$
Quindi prendendo in considerazione il denominatore del secondo limite, ho sviluppato le potenze per avere:
$((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)= ((x^4+2x^2+1)(x^4+2x^2+1))^(1/3)-(x^(8/3)+2x^(4/3)+1)$
$=(x^(8)+4x^6+6x^4+4x^2+1)^(1/3)-(x^(8/3)+2x^(4/3)+1)$
Prendendo come riferimento nella frazione le $x$ con potenza maggiore per vedere chi tende a $+oo$ più velocemente ottengo
$lim (x to +oo) (2x^(4/3))/(4x^2)= 0$ In quanto x^2 tende a $+oo$ più velocemente, quindi
$lim (x to +oo) ((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2+2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)= $
$lim (x to+oo) 1 + lim (x to+oo) (2x^(4/3))/(4x^2)=1$
Risolvendo il seguente limite sono arrivato ad una conclusione che mi da un risultato($=1$) diverso rispetto wolframAlpha ($=0$), vorrei sapere dove commetto l'errore
$lim (x to +oo) ((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2+2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)$
Ho prima scomposto la frazione così d'avere
$lim (x to +oo) ((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)+(2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)$
Quindi
$lim (x to +oo) 1+ lim (x to +oo)(2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)$
Quindi prendendo in considerazione il denominatore del secondo limite, ho sviluppato le potenze per avere:
$((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)= ((x^4+2x^2+1)(x^4+2x^2+1))^(1/3)-(x^(8/3)+2x^(4/3)+1)$
$=(x^(8)+4x^6+6x^4+4x^2+1)^(1/3)-(x^(8/3)+2x^(4/3)+1)$
Prendendo come riferimento nella frazione le $x$ con potenza maggiore per vedere chi tende a $+oo$ più velocemente ottengo
$lim (x to +oo) (2x^(4/3))/(4x^2)= 0$ In quanto x^2 tende a $+oo$ più velocemente, quindi
$lim (x to +oo) ((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2+2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2)= $
$lim (x to+oo) 1 + lim (x to+oo) (2x^(4/3))/(4x^2)=1$
Risposte
Ciao Giancaf,
Per quanto mi secchi ammetterlo ha ragione WolframAlpha, il risultato del limite proposto è $0$
Devi usare bene lo sviluppo in serie di $(1 + t)^{\alpha}$, ove nel caso in questione $t = x^2 $ e $\alpha = 4/3 $
Per quanto mi secchi ammetterlo ha ragione WolframAlpha, il risultato del limite proposto è $0$
"Giancaf":
vorrei sapere dove commetto l'errore
Devi usare bene lo sviluppo in serie di $(1 + t)^{\alpha}$, ove nel caso in questione $t = x^2 $ e $\alpha = 4/3 $
"pilloeffe":
Ciao Giancaf,
Per quanto mi secchi ammetterlo ha ragione WolframAlpha, il risultato del limite proposto è $0$
[quote="Giancaf"]vorrei sapere dove commetto l'errore
Devi usare bene lo sviluppo in serie di $(1 + t)^{\alpha}$, ove nel caso in questione $t = x^2 $ e $\alpha = 4/3 $[/quote]
Ma già dall'inizio? Subito dopo che ho scomposto la frazione o alla fine?
La scomposizione della frazione è corretta, prova col denominatore della seconda frazione... 
Stavo osservando che esiste anche la possibilità di non fare uso dello sviluppo in serie, ma io stesso sconsiglierei di procedere in questo modo perché molto, ma molto più laborioso...
In sostanza alla fine si deve risolvere il limite seguente:
$\lim_{x \to +\infty} (2x^{4/3})/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2) $
Scrivendo il denominatore della frazione nella forma $ (1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2 = (1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^(6/3) $ e ricordando che $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $, posto $a:= (1+x^2)^(4/3)$ e $ b:= (1+x^(4/3))^(6/3) $ si ha:
$ a - b = (1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2 = ((1 + x^2)^4 - (1+x^(4/3))^6)/[(1+x^2)^(8/3) + (1+x^2)^(4/3)(1+x^(4/3))^2 + (1+x^(4/3))^4] = $
$ = (-6 x^(4/3) + 4 x^2 - 15 x^(8/3) - 14 x^4 - 15 x^(16/3) + 4 x^6 - 6 x^(20/3))/[x^(16/3)[(1 + 1/x^2) + (1 + 1/x^2)(1 + 1/x^(4/3)) + (1 + 1/x^(4/3))]] $
Perciò si ha:
$\lim_{x \to +\infty} (2x^{4/3})/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2) = $
$= \lim_{x \to +\infty} (2x^{4/3}\cdot x^(16/3)[(1 + 1/x^2) + (1 + 1/x^2)(1 + 1/x^(4/3)) + (1 + 1/x^(4/3))])/ (-6 x^(4/3) + 4 x^2 - 15 x^(8/3) - 14 x^4 - 15 x^(16/3) + 4 x^6 - 6 x^(20/3)) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} (2x^{20/3}[(1 + 1/x^2) + (1 + 1/x^2)(1 + 1/x^(4/3)) + (1 + 1/x^(4/3))])/ (-6 x^(4/3) + 4 x^2 - 15 x^(8/3) - 14 x^4 - 15 x^(16/3) + 4 x^6 - 6 x^(20/3)) = (2 \cdot 3)/(- 6) = - 1 $
Pertanto in effetti si conferma che il limite inizialmente proposto risulta $0$:
$ \lim_{x \to +\infty} ((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2+2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2) = 0 $
In sostanza alla fine si deve risolvere il limite seguente:
$\lim_{x \to +\infty} (2x^{4/3})/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2) $
Scrivendo il denominatore della frazione nella forma $ (1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2 = (1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^(6/3) $ e ricordando che $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $, posto $a:= (1+x^2)^(4/3)$ e $ b:= (1+x^(4/3))^(6/3) $ si ha:
$ a - b = (1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2 = ((1 + x^2)^4 - (1+x^(4/3))^6)/[(1+x^2)^(8/3) + (1+x^2)^(4/3)(1+x^(4/3))^2 + (1+x^(4/3))^4] = $
$ = (-6 x^(4/3) + 4 x^2 - 15 x^(8/3) - 14 x^4 - 15 x^(16/3) + 4 x^6 - 6 x^(20/3))/[x^(16/3)[(1 + 1/x^2) + (1 + 1/x^2)(1 + 1/x^(4/3)) + (1 + 1/x^(4/3))]] $
Perciò si ha:
$\lim_{x \to +\infty} (2x^{4/3})/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2) = $
$= \lim_{x \to +\infty} (2x^{4/3}\cdot x^(16/3)[(1 + 1/x^2) + (1 + 1/x^2)(1 + 1/x^(4/3)) + (1 + 1/x^(4/3))])/ (-6 x^(4/3) + 4 x^2 - 15 x^(8/3) - 14 x^4 - 15 x^(16/3) + 4 x^6 - 6 x^(20/3)) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} (2x^{20/3}[(1 + 1/x^2) + (1 + 1/x^2)(1 + 1/x^(4/3)) + (1 + 1/x^(4/3))])/ (-6 x^(4/3) + 4 x^2 - 15 x^(8/3) - 14 x^4 - 15 x^(16/3) + 4 x^6 - 6 x^(20/3)) = (2 \cdot 3)/(- 6) = - 1 $
Pertanto in effetti si conferma che il limite inizialmente proposto risulta $0$:
$ \lim_{x \to +\infty} ((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2+2x^(4/3))/((1+x^2)^(4/3)-(1+x^(4/3))^2) = 0 $
Grazie mille!
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