Limite con razionalizzazione ---- (RISOLTO)
Salve a tutti, mi potete dire dove sbaglio?
questo è il limite iniziale
$\lim_{n \to \infty}(1-sqrt(n+1)+sqrt(n))^sqrt(n)$
applico la regola ed ottengo
$\lim_{n \to \infty} e^log(1-sqrt(n+1)+sqrt(n))^(sqrt(n))$
quindi adesso calcolo direttamente il limite dell'esponente di e
$\lim_{n \to \infty}sqrt(n)log(1-sqrt(n+1)+sqrt(n))$
adesso penso di applicare male la razionalizzazione, perchè non riesco a togliere la radice dal numeratore
usando questo sito mi dice che tende a $-1/2$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... n+%2B+1%29
qualcuno mi può dire come continuare?
questo è il limite iniziale
$\lim_{n \to \infty}(1-sqrt(n+1)+sqrt(n))^sqrt(n)$
applico la regola ed ottengo
$\lim_{n \to \infty} e^log(1-sqrt(n+1)+sqrt(n))^(sqrt(n))$
quindi adesso calcolo direttamente il limite dell'esponente di e
$\lim_{n \to \infty}sqrt(n)log(1-sqrt(n+1)+sqrt(n))$
adesso penso di applicare male la razionalizzazione, perchè non riesco a togliere la radice dal numeratore
usando questo sito mi dice che tende a $-1/2$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... n+%2B+1%29
qualcuno mi può dire come continuare?
Risposte
Non sono sicuro di vedere dove tu voglia applicare la razionalizzazione al punto in cui sei... Quindi se ti va di fare un altro paio di passaggi, li leggo volentieri.
"zib":
$\lim_{n \to \infty}sqrt(n)log(1-sqrt(n+1)+sqrt(n))$
Piccolo calcio:
$\lim_{n \to \infty}sqrt(n)log(1-sqrt(n+1)+sqrt(n)) = \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} ln(1 + \sqrt{n}(1- \sqrt{ 1 + 1/n })) $
grazie per la veloce risposta
per gugo82 : la vedo dura perchè io qui mi sono bloccato ,
non mi viene nessuna idea per continuare ,
l'inica cosa che mi viene in mente è provare a risolvere il limite con taylor,
ma pensavo che questo esercizio si risolvesse "facilmente", senza usare taylor o de l'hopital
per pater46: grazie per il "calcio"
ora come ora non capisco molto bene come mi possa aiutare, ma forse è perchè mi si stanno chiudendo gli occhi
domani mi concentro sull'auito che mi hai dato per provare ad andare avanti
per gugo82 : la vedo dura perchè io qui mi sono bloccato ,
non mi viene nessuna idea per continuare ,
l'inica cosa che mi viene in mente è provare a risolvere il limite con taylor,
ma pensavo che questo esercizio si risolvesse "facilmente", senza usare taylor o de l'hopital
per pater46: grazie per il "calcio"
ora come ora non capisco molto bene come mi possa aiutare, ma forse è perchè mi si stanno chiudendo gli occhi domani mi concentro sull'auito che mi hai dato per provare ad andare avanti
Due termini sono pronti per essere sviluppati in serie!
allora, oggi il prof ha fatto un esercizio molto simile(usando una strada diversa da quella di inizio topic)
sfruttando lo stesso "trucchetto" usato in classe, in questo limite viene proprio 1/2
cominciamo:
già sappiamo che se $sqrt(n+1)+sqrt(n)$ diventeranno$ 1/(sqrt(n+1)+sqrt(n)) $
quindi sostituiamo subito e diventa $(1-1/(sqrt(n+1)+sqrt(n)))^(sqrt(n))$
adesso dobbiamo portarlo nella forma del limite notevole $(1+1/n)^n = e$
questo è il passaggio piu complicato il tutto diventa $(1-1/(sqrt(n+1)+sqrt(n)))^(((sqrt(n+1)+sqrt(n))) (sqrt(n)/(sqrt(n+1)+sqrt(n))))$
adesso abbiamo $e^(sqrt(n)/(sqrt(n+1)+sqrt(n)))$ e studiamo solo il limite dell'esponente
che viene $n^(1/2)/(2n^(1/2))=1/2$
se mi confermate che è tutto corretto, metto la scritta RISOLTO sul titolo del tread
sfruttando lo stesso "trucchetto" usato in classe, in questo limite viene proprio 1/2
cominciamo:
già sappiamo che se $sqrt(n+1)+sqrt(n)$ diventeranno$ 1/(sqrt(n+1)+sqrt(n)) $
quindi sostituiamo subito e diventa $(1-1/(sqrt(n+1)+sqrt(n)))^(sqrt(n))$
adesso dobbiamo portarlo nella forma del limite notevole $(1+1/n)^n = e$
questo è il passaggio piu complicato il tutto diventa $(1-1/(sqrt(n+1)+sqrt(n)))^(((sqrt(n+1)+sqrt(n))) (sqrt(n)/(sqrt(n+1)+sqrt(n))))$
adesso abbiamo $e^(sqrt(n)/(sqrt(n+1)+sqrt(n)))$ e studiamo solo il limite dell'esponente
che viene $n^(1/2)/(2n^(1/2))=1/2$
se mi confermate che è tutto corretto, metto la scritta RISOLTO sul titolo del tread
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