Limite con radici quadre

[Calabi]

Vi chiedo aiuto con un altro paio di limiti... ho dubbi sul procedimento...

$\lim_{x \to \-infty}x*(sqrt(1+x^4)-x^2)$ che fa $0$


$\lim_{x \to \+infty}((sqrt(1+x^2) + sqrt(x))/(sqrt(x)-x))$ che fa $-1$

Grazie a chi vorrà essere d'aiuto!


Edit. Ho modificato, avevo sbagliato a scrivere, nel secondo $x \to \+infty$

[gugo82]

Posta un tuo tentativo.

[Calabi]

"gugo82":Posta un tuo tentativo.

So che sarebbe d'uopo, il fatto è che i miei tentivi si sono fermati alla fase "mumblemumble", salvo qualche manipolazione inutile...

[gugo82]

Suggerimento per il primo: metti \(x^4\) in evidenza nella radice e porta fuori dalla stessa quello che puoi; metti in evidenza e prova ad usare il limite notevole della radice.

Suggerimento per il secondo: guarda gli ordini di infinito!

[Calabi]

Dunque, per il primo...

se moltiplico numeratore e denominatore per $sqrt(1+x^4)+x^2$

$x*((1+x^4-x^4)/(sqrt(1+x^4)+x^2))=x/(sqrt(1+x^4)+x^2)$

A questo punto posso dire il num è di grado minore del den. e quindi il limite è zero?!? Oppure ho detto una bischerata?!

[gugo82]

Sì, va bene.

Altrimenti:
\[
\begin{split}
x\ \left( \sqrt{1+x^4} - x^2\right) &= x\ \left( x^2\ \sqrt{\frac{1}{x^4}+1} - x^2\right) \\
&= x^3\ \left( \sqrt{\frac{1}{x^4}+1} - 1\right) \\
&= x^3\ \frac{1}{x^4}\ \frac{\sqrt{\frac{1}{x^4}+1} - 1}{\frac{1}{x^4}} \\
&= \frac{1}{x}\ \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^4}} - 1}{\frac{1}{x^4}}
\end{split}
\]
quindi:
\[
\lim_{x\to -\infty} x\ \left( \sqrt{1+x^4} - x^2\right) = \lim_{x\to -\infty} \underbrace{\frac{1}{x}}_{\color{maroon}{\to 0}}\ \underbrace{\frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}} - 1}{\frac{1}{x^4}}}_{\color{maroon}{\to 1/2}} = 0\; .
\]

[Calabi]

Ciao! Scusami, non ho capito questo passaggio (al numeratore, il lavoro con la radice):

$x^3*1/x^4*(sqrt(1/x^4+1)-1)/(1/x^4)=1/x*(1+sqrt(1/x^4)-1)/(1/x^4)$


edit. è un errore di battitura credo...

[gugo82]

Certo, errore di battitura.