Limite con radici di seni
Sono alle prese con un altro limite 
\(\displaystyle \lim_{x->0^+} \frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sin(x)}} - \sqrt{\frac{1}{\sin(x)}-1} }{\sqrt{x}} \)
Ho pensato di spezzarlo:
\(\displaystyle \lim_{x->0^+} \frac{ \sqrt{1+\frac{1}{\sin(x)}}} {\sqrt{x}} - \frac{ \sqrt{ \frac{1}{\sin(x)} - 1 }} {\sqrt{x}} \)
\(\displaystyle \lim_{x->0^+} \sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sin(x)}}{x}} - \sqrt{\frac{ \frac{1}{\sin(x)} - 1 } {x}} \)
Riscrivo come
\(\displaystyle \lim_{x->0^+} \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{x}{\sin(x)}} -\sqrt{\frac{x}{\sin(x)}-\frac{1}{x}} \)
Qua non sembra essere utile il limite notevole del seno, vado avanti
\(\displaystyle \lim_{x->0^+} \sqrt{\frac{\sin(x)+x}{x\sin(x)}} - \sqrt{\frac{x-\sin(x)}{x\sin(x)}} \)
Qua mi blocco.. mi conviene usare i polinomi di Taylor oppure ho sbagliato strategia?
\(\displaystyle \lim_{x->0^+} \frac{\sqrt{1+\frac{1}{\sin(x)}} - \sqrt{\frac{1}{\sin(x)}-1} }{\sqrt{x}} \)
Ho pensato di spezzarlo:
\(\displaystyle \lim_{x->0^+} \frac{ \sqrt{1+\frac{1}{\sin(x)}}} {\sqrt{x}} - \frac{ \sqrt{ \frac{1}{\sin(x)} - 1 }} {\sqrt{x}} \)
\(\displaystyle \lim_{x->0^+} \sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sin(x)}}{x}} - \sqrt{\frac{ \frac{1}{\sin(x)} - 1 } {x}} \)
Riscrivo come
\(\displaystyle \lim_{x->0^+} \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{x}{\sin(x)}} -\sqrt{\frac{x}{\sin(x)}-\frac{1}{x}} \)
Qua non sembra essere utile il limite notevole del seno, vado avanti
\(\displaystyle \lim_{x->0^+} \sqrt{\frac{\sin(x)+x}{x\sin(x)}} - \sqrt{\frac{x-\sin(x)}{x\sin(x)}} \)
Qua mi blocco.. mi conviene usare i polinomi di Taylor oppure ho sbagliato strategia?
Risposte
Mi pare che si potrebbe risolvere così...
$(sqrt(1+1/sinx)-sqrt(1/sinx-1))/sqrt(x)=$
$(sqrt((sinx+1)/sinx)-sqrt((1-sinx)/sinx))/sqrt(x)=$
$(sqrt((sinx+1)/sinx)-sqrt((1-sinx)/sinx))/sqrt(x)*(sqrt((sinx+1)/sinx)+sqrt((1-sinx)/sinx))/(sqrt((sinx+1)/sinx)+sqrt((1-sinx)/sinx))=$
$((sinx+1)/sinx-(1-sinx)/sinx) 1/(sqrt(x)*(sqrt((sinx+1)/sinx)+sqrt((1-sinx)/sinx)))=$
$2* sqrt(sinx/x)*1/(sqrt(sinx+1)+sqrt(1-sinx))$
$(sqrt(1+1/sinx)-sqrt(1/sinx-1))/sqrt(x)=$
$(sqrt((sinx+1)/sinx)-sqrt((1-sinx)/sinx))/sqrt(x)=$
$(sqrt((sinx+1)/sinx)-sqrt((1-sinx)/sinx))/sqrt(x)*(sqrt((sinx+1)/sinx)+sqrt((1-sinx)/sinx))/(sqrt((sinx+1)/sinx)+sqrt((1-sinx)/sinx))=$
$((sinx+1)/sinx-(1-sinx)/sinx) 1/(sqrt(x)*(sqrt((sinx+1)/sinx)+sqrt((1-sinx)/sinx)))=$
$2* sqrt(sinx/x)*1/(sqrt(sinx+1)+sqrt(1-sinx))$
Grazie mille, ho capito tutto
Pongo un'altra domanda, se il limite tendesse a sinistra di zero, potrei utilizzare il tuo stesso procedimento o dovrei fare qualche accorgimento?
$sqrt(x)$ è definita solo per $x>=0$ e quindi non esiste il limite per $x->0^-$.
Lo avevo pensato anche io ma WA mi dice che il risultato esiste ed è -1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... x%29%29%29
Mi chiedevo come potesse essere possibile
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... x%29%29%29
Mi chiedevo come potesse essere possibile
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