Limite con radici

[vivi996]

Buongiorno, ho $\lim_{x \to \infty}sqrt(x^3-x^2)-sqrt(x^3-2x)$ . Io ho razionalizzato e raccolto una x^2, ma questo limite mi fa uno. Invece la soluzione sarebbe $-infty$. Potete spiegarmi perchè?

[wall87]

Scrivo solo l'argomento per non scrivere ogni volta il limite:

$\lim_{x \to \infty}sqrt(x^3-x^2)-sqrt(x^3-2x)$

\( \left (\sqrt{x^3-x^2}-\sqrt{x^3-2x} \right )\left ( \frac{\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^3-2x}}{\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^3-2x}} \right ) \)

\( \frac{2x-x^2}{\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^3-2x}} \)

\( \frac{x^2\left ( \frac{2}{x}-1 \right )}{x\left ( \sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x^2}} \right )} \)

\( \frac{x\left ( \frac{2}{x}-1 \right )}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} \)

a numeratore hai \( -\infty \) e a denominatore hai 2

[vivi996]

Tu hai raccolto x al denominatore, io avevo raccolto x^2 quindi mi veniva a numeratore 1, perchè per una x cambia così tanto? Io di solito cerco di elimiare la potenza maggiore sia sotto che sopra, non mi sarebbe venuto di raccogliere una sola x

[@melia]

Non mi pare che $sqrt(x^3-2x)=xsqrt(1-2/x^2)$, caro wall87 hai perso qualche $x$.

[Brancaleone1]

"wall87":

\( \frac{2x-x^2}{\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^3-2x}} \)

\( \frac{x^2\left ( \frac{2}{x}-1 \right )}{x\left ( \sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x^2}} \right )} \)

Questo passaggio mi pare errato, dovrebbe essere:

$(x^2(2/x-1))/(x(sqrt(x-1)+sqrt(x-2/x)))$

Comunque si può arrivare alla soluzione con la gerarchia degli infiniti:

\( \frac{2x-x^2}{\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^3-2x}} \sim \) $(-x^2)/(sqrt(x^3))=(-oo \text( di ordine 2))/(+oo \text( di ordine 3/2))=-oo$

[wall87]

È vero @melia, ho pasticciato con la x a denominatore, ha ragione Brancaleone, vi ringrazio della correzione.