Limite con radice ennesima

[Roxie1]

Potreste aiutarmi a risolvere questo limite?

lim \(\displaystyle \sqrt [n] {n! + 3^n / (n+1)!}\)
x \(\displaystyle \rightarrow \)\(\displaystyle \infty \)

[Sk_Anonymous]

Trovo assai strano che sia \(\displaystyle x \) a tendere all'infinito.
Ad ogni modo puoi notare che \[\displaystyle \sqrt[n]{n!} \le \sqrt[n]{n! +\frac{3^{n}}{(n+1)!}} \]

[Roxie1]

Ho sbagliato, volevo scrivere n tendente ad infinito.

[Roxie1]

"Delirium":Trovo assai strano che sia \(\displaystyle x \) a tendere all'infinito.
Ad ogni modo puoi notare che \[\displaystyle \sqrt[n]{n!} \le \sqrt[n]{n! +\frac{3^{n}}{(n+1)!}} \]

Quindi potrei confrontare la successione data con quella che hai scritto?

[Sk_Anonymous]

Esattamente.
Sempre che tu riesca a dimostrare che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}=+\infty \).

Hint:

Fissato \(\displaystyle m \in \mathbb{N^{*}} \), per \(\displaystyle n>m \) si ha \[\displaystyle n!=n\cdot(n-1)...(m+1)\cdot m! \ge \begin{matrix} \underbrace{m \cdot...\cdot m}_{n-m \ \text{volte}} \end{matrix} \cdot m! \] sicché \[\displaystyle \sqrt[n]{n!} \ge \sqrt[n]{m^{n-m} \ m!} = m^{1-m/n} \ \sqrt[n]{m!} \ge m^{1-m/n} \]
Ora, se \(\displaystyle n>2m \)...