Limite con radice cubica

[BoG3]

ciao, vorrei chiedervi ocnsiglio su questo limite:

$lim_{x \to +\infty} (root(3)(2+x^3) - root(3)(1-2x^2+x^3))$

comincio razionalizzando:

$lim_{x \to +\infty} (root(3)(2+x^3) - root(3)(1-2x^2+x^3)) * (root(3)(2+x^3) + root(3)(1-2x^2+x^3))/(root(3)(2+x^3) + root(3)(1-2x^2+x^3))$

ottengo:

$lim_{x \to +\infty} ((2+x^3) - (1-2x^2+x^3))/(root(3)(2+x^3) + root(3)(1-2x^2+x^3))$

$lim_{x \to +\infty} (2+x^3 - 1+2x^2-x^3)/(root(3)(2+x^3) + root(3)(1-2x^2+x^3))$

$lim_{x \to +\infty} (1+2x^2)/(root(3)(2+x^3) + root(3)(1-2x^2+x^3))$

$lim_{x \to +\infty} (x^2(1/x^2+2))/(x root(3)(2/x^3 +1) + x root(3)(1/x^3 -2/x+1))$

$lim_{x \to +\infty} (x^2(1/x^2+2))/(x (root(3)(2/x^3 +1) + root(3)(1/x^3 -2/x+1)))$

$lim_{x \to +\infty} (x(1/x^2+2))/(root(3)(2/x^3 +1) +root(3)(1/x^3 -2/x+1)) = (+\infty (0+2))/(root(3)(1)+root(3)(1)) = +\infty/2 = 0$

Il risultato dovrebbe essere$-2/3$.. io non so dove ho sbagliato ...

[Sk_Anonymous]

Quando hai le radici cubiche, la razionalizzazione è diversa.

[_prime_number]

Per razionalizzare le radici cubiche si usano le relazioni:
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+b^2 +ab)$
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2+b^2 -ab)$

Paola

[Seneca1]

Un segno a parte, il tuo limite è questo.

Se non ti piace razionalizzare, puoi ricondurti a questo limite notevole: $lim_(y -> 0) (( 1 + y)^k - 1 )/y = k$

[BoG3]

quindi, nel mio caso dovrei fare:

$lim_{x \to +\infty}(root(3)(2+x^3)- root(3)(1+2x^2+x^3))$

il mio $A = root(3)(2+x^3)$ e $B = root(3)(1+2x^2+x^3)$

siccome devo ottenere $A^3 + B^3$ avro':

$lim_{x \to +\infty}(root(3)(2+x^3)- root(3)(1+2x^2+x^3)) = $
$lim_{x \to +\infty}(root(3)(2+x^3)+root(3)(1+2x^2+x^3))*$

$*((root(3)(2+x^3))^2+(root(3)(1+2x^2+x^3))^2-(root(3)(2+x^3)*root(3)(1+2x^2+x^3)))/((root(3)(2+x^3))^2+(root(3)(1+2x^2+x^3))^2-(root(3)(2+x^3)*root(3)(1+2x^2+x^3)))$

Giusto?

[BoG3]

Se invece faccio come dici tu Seneca... dovrei fare così...
$lim_{x \to +\infty}(root(3)(2+x^3)- root(3)(1+2x^2+x^3))$ prima ho bisogno che il limite tenda a zero quindi sostituisco:
$y= 1/x$ così quando $x \to +\infty$ o che $y \to 0$, ora mi ricavo la $x= 1/y$ e vado a sostituirlo dentro al limite:
$lim_{y \to 0}(root(3)(2+(1/y)^3)- root(3)(1+2(1/y)^2+(1/y)^3))$

contando che devo arrivare nella forma: $lim_(y -> 0) (( 1 + y)^k - 1 )/y = k$ ..come?

e se provo a raccogliere $(1/y)^3$ e portarlo fuori radice ? ..

$lim_{y \to 0}(root(3)((1/y)^3(2/(1/y)^3+1))- root(3)((1/y)^3(1/(1/y)^3+2/(1/y)+1)))$ riscrivo meglio:

$lim_{y \to 0}(root(3)((1/y)^3(2y^3+1))- root(3)((1/y)^3(y^3+2y+1)))$ tiro fuori $(1/y)^3$

$lim_{y \to 0}(1/y)(root(3)((2y^3+1))- (1/y)root(3)((y^3+2y+1)))$

$lim_{y \to 0}(root(3)((2y^3+1))/y - root(3)((y^3+2y+1))/y)$

pero' sinceramente non sono in grado di continuare, le ideeche ho avuto non mi hanno portato lontano...

[Seneca1]

Prova a vedere se riesci a risolverlo sulla falsariga di questo.