Limite con radice

[Laura.appunti.2021]

Buongiorno a tutti,
Ho questo limite di cui dovrei calcolare il valore:
$ lim_(x -> oo) (ln(x+1)-ln(x-1))/(x^2-sqrt(x^4-3x)) $
Io avevo pensato di razionalizzare il denominatore:
$ lim_(x -> oo) [(ln(x+1)-ln(x-1))*(x^2+sqrt(x^4-3x))] /(x^4-(x^4-3x) $
$ lim_(x -> oo) [(ln(x+1)-ln(x-1))*(x^2+sqrt(x^4-3x))] /(3x) $
Tuttavia non riesco a calcolare il numeratore.
Quanche suggerimento?
Grazie

[Berker]

Per il logaritmo diventa $ln\frac{x +1}{x-1} \rightarrow ln\frac{x +1 -1 +1}{x-1} \rightarrow ln(1+ \frac{2}{x-1})$

[Laura.appunti.2021]

Grazie mille!!

[pilloeffe]

Ciao Dot.who,

"Dot.who":Qualche suggerimento?

Sì, proseguirei dal punto dove sei arrivato:

$ lim_{x \to infty} frac{ [ln(x+1)-ln(x-1)](x^2+sqrt{x^4-3x})}{3x} = $
$ = frac{1}{3} \cdot lim_{x \to infty} frac{ [ln x(1+1/x)-ln x(1 - 1/x)](x^2+ x^2 sqrt{1-3/x^3})}{x} = $
$ = frac{1}{3} \cdot lim_{x \to infty} (x + x sqrt{1-3/x^3}) [ln(1+1/x) - ln(1 - 1/x)] = $
$ = frac{1}{3} \cdot lim_{x \to infty} (1 + sqrt{1-3/x^3}) [frac{ln(1+1/x)}{1/x} + frac{ln(1 - 1/x)}{- 1/x}] = $
$ = frac{1}{3} \cdot lim_{x \to infty} (1 + sqrt{1-3/x^3}) \cdot [lim_{x \to infty} frac{ln(1+1/x)}{1/x} + lim_{x \to infty} frac{ln(1 - 1/x)}{- 1/x}] = $
$ = frac{1}{3} \cdot (1 + 1) \cdot [1 + 1] = 4/3 $

[Laura.appunti.2021]

Grazie mille!! Super chiaro