Limite con radicali ?
lim ( per x che tende a +inf ) [(2x-1)sqrt(x)-sqrt(2x²+4x³)]/[4-sqrt(3x+5)]
Ho provato a risolvere il limite e mi esce 1/sqrt(3), mentre il risultato del libro è sqrt(3)/2.
Inoltre volevo sapere quando bisogna razionalizzare per risolvere il limite e quando basta solo il raccoglimento della x con l'esponente maggiore ?
Ho provato a risolvere il limite e mi esce 1/sqrt(3), mentre il risultato del libro è sqrt(3)/2.
Inoltre volevo sapere quando bisogna razionalizzare per risolvere il limite e quando basta solo il raccoglimento della x con l'esponente maggiore ?
Risposte
Ciao simonerusso64,
Il limite proposto pare il seguente:
$lim_{x \to +\infty} [(2x-1)sqrt(x)-sqrt(2x^2+4x^3)]/[4-sqrt(3x+5)] $
Il risultato riportato dal tuo libro è corretto. Procederei con una doppia razionalizzazione nel modo seguente:
$lim_{x \to +\infty} [(2x-1)sqrt(x)-sqrt(2x^2+4x^3)]/[4-sqrt(3x+5)] = lim_{x \to +\infty} [sqrt(x (2x - 1)^2)-sqrt(2x^2+4x^3)]/[4-sqrt(3x+5)] = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{sqrt(x (2x - 1)^2)-sqrt(2x^2+4x^3) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))}{(4-sqrt{3x+5}) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{x (2x - 1)^2-(2x^2+4x^3)}{(4-sqrt{3x+5}) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{4x^3 - 4x^2 + 4x - 2x^2 - 4x^3}{(4-sqrt{3x+5}) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{- 6x^2 + 4x}{(4-sqrt{3x+5}) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{2x(- 3x + 2) \cdot (4+sqrt{3x+5})}{(4-sqrt{3x+5})\cdot (4+sqrt{3x+5}) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{2x(- 3x + 2) \cdot (4+sqrt{3x+5})}{(11- 3x) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{2x(3x - 2) \cdot (4+sqrt{3x+5})}{(3x - 11) \cdot x (sqrt(4x - 4 + 1/x)+sqrt(2 +4x))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{2(3x - 2) \cdot (4+sqrt{3x+5})}{(3x - 11) \cdot (sqrt(4x - 4 + 1/x)+sqrt(2 +4x))} = $
$ = 2 \cdot lim_{x \to +\infty} frac{3x - 2}{3x - 11} \cdot lim_{x \to +\infty} frac{4+sqrt{3x+5}}{sqrt(4x - 4 + 1/x)+sqrt(2 +4x)} = $
$ = 2 \cdot lim_{x \to +\infty} frac{3x - 2}{3x - 11} \cdot lim_{x \to +\infty} frac{sqrt{3x+5}}{sqrt(4x + 2)} \cdot lim_{x \to +\infty} frac{4/sqrt{3x+5} + 1}{frac{sqrt(4x - 4 + 1/x)}{sqrt(4x + 2)} + 1} = $
$ = 2 \cdot lim_{x \to +\infty} frac{3x - 2}{3x - 11} \cdot lim_{x \to +\infty} sqrt{frac{3x+5}{4x + 2}} \cdot lim_{x \to +\infty} frac{4/sqrt{3x+5} + 1}{sqrt{frac{4x - 4 + 1/x}{4x + 2}} + 1} = $
$ = 2 \cdot 1 \cdot sqrt{frac{3}{4}} \cdot frac{1}{1 + 1} = frac{sqrt{3}}{2} $
Il limite proposto pare il seguente:
$lim_{x \to +\infty} [(2x-1)sqrt(x)-sqrt(2x^2+4x^3)]/[4-sqrt(3x+5)] $
Il risultato riportato dal tuo libro è corretto. Procederei con una doppia razionalizzazione nel modo seguente:
$lim_{x \to +\infty} [(2x-1)sqrt(x)-sqrt(2x^2+4x^3)]/[4-sqrt(3x+5)] = lim_{x \to +\infty} [sqrt(x (2x - 1)^2)-sqrt(2x^2+4x^3)]/[4-sqrt(3x+5)] = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{sqrt(x (2x - 1)^2)-sqrt(2x^2+4x^3) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))}{(4-sqrt{3x+5}) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{x (2x - 1)^2-(2x^2+4x^3)}{(4-sqrt{3x+5}) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{4x^3 - 4x^2 + 4x - 2x^2 - 4x^3}{(4-sqrt{3x+5}) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{- 6x^2 + 4x}{(4-sqrt{3x+5}) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{2x(- 3x + 2) \cdot (4+sqrt{3x+5})}{(4-sqrt{3x+5})\cdot (4+sqrt{3x+5}) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{2x(- 3x + 2) \cdot (4+sqrt{3x+5})}{(11- 3x) \cdot (sqrt(x (2x - 1)^2)+sqrt(2x^2+4x^3))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{2x(3x - 2) \cdot (4+sqrt{3x+5})}{(3x - 11) \cdot x (sqrt(4x - 4 + 1/x)+sqrt(2 +4x))} = $
$ = lim_{x \to +\infty} frac{2(3x - 2) \cdot (4+sqrt{3x+5})}{(3x - 11) \cdot (sqrt(4x - 4 + 1/x)+sqrt(2 +4x))} = $
$ = 2 \cdot lim_{x \to +\infty} frac{3x - 2}{3x - 11} \cdot lim_{x \to +\infty} frac{4+sqrt{3x+5}}{sqrt(4x - 4 + 1/x)+sqrt(2 +4x)} = $
$ = 2 \cdot lim_{x \to +\infty} frac{3x - 2}{3x - 11} \cdot lim_{x \to +\infty} frac{sqrt{3x+5}}{sqrt(4x + 2)} \cdot lim_{x \to +\infty} frac{4/sqrt{3x+5} + 1}{frac{sqrt(4x - 4 + 1/x)}{sqrt(4x + 2)} + 1} = $
$ = 2 \cdot lim_{x \to +\infty} frac{3x - 2}{3x - 11} \cdot lim_{x \to +\infty} sqrt{frac{3x+5}{4x + 2}} \cdot lim_{x \to +\infty} frac{4/sqrt{3x+5} + 1}{sqrt{frac{4x - 4 + 1/x}{4x + 2}} + 1} = $
$ = 2 \cdot 1 \cdot sqrt{frac{3}{4}} \cdot frac{1}{1 + 1} = frac{sqrt{3}}{2} $
Ok grazie. Ma quando nei limiti bisogna razionalizzare e quando raccogliere ?
"simonerusso64":
Ok grazie.
Prego!
"simonerusso64":
Ma quando nei limiti bisogna razionalizzare e quando raccogliere ?
Non credo che esista una regola generale, dipende dal limite in esame: ad esempio nel caso del limite proposto si è utilizzata sia la razionalizzazione che il raccoglimento. Se il limite è il rapporto fra due polinomi basta il raccoglimento. Con le radici può bastare il raccoglimento se non compaiono forme indeterminate del tipo $infty - infty $
Di esempi ce ne sono diversi anche su questo sito, basta cercarli...
Ad esempio si ha:
$lim_{x to -\infty} frac{sqrt{x^2 - 2}}{x} = lim_{x to -\infty} frac{|x|sqrt{1 - 2/x^2}}{x} = lim_{x to -\infty} frac{-x sqrt{1 - 2/x^2}}{x} = lim_{x to -\infty} - sqrt{1 - 2/x^2} = - 1 $
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