Limite con Radicale cubo
Ciao a tutti. Ho un altro problema con un limite simile al precedente. Il limite è il seguente:$lim_(x->+oo)sqrtx(root(3)(x+1)-root(3)(x-1))$. Per risolverlo estraiamo $root(3)(x-1)$ e otteniamo $sqrtx(root(3)((x+1)/(x-1))-1)$. A questo punto loro ottengono questo: $-sqrtx(root(3)(1+2/(x-1))-1)$. Per la quantità dentro la radice ho capito che la ottengono ponendo $x+1=x+2-1$ ma non capisco come facciano ad ottenere la quantità all'esterno e ad eliminare $root(3)(x-1)$.
Poi per il resto applichiamo la forma di equivalenza asintotica nota e otteniamo $-sqrtx(1/3)(2/(x-1))=0$ per $x->+oo$ ma è giusto che viene zero per il fatto che la potenza al denominatore ossia 1 è maggiore di quella al numeratore ossia $1/2$ e quindi tende prima a 0 che a infinito?
Poi per il resto applichiamo la forma di equivalenza asintotica nota e otteniamo $-sqrtx(1/3)(2/(x-1))=0$ per $x->+oo$ ma è giusto che viene zero per il fatto che la potenza al denominatore ossia 1 è maggiore di quella al numeratore ossia $1/2$ e quindi tende prima a 0 che a infinito?
Risposte
Non potresti provare a razionalizzare? 
$a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$
$a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$
Ho provato ma arrivo a un punto morto. Invece ho visto che facendo così loro arrivano al risultato ma non capisco quel passaggio 
Non credo che si giunga ad un punto morto razionalizzando...
$\sqrt(x)(\root(3){x+1}-\root(3){x-1})= \sqrt(x)\frac{x+1-x+1}{\root(3){(x+1)^2}+\root(3){x^2-1}+\root(3){(x-1)^2}}$
=$\frac{2\sqrt(x)}{\root(3){(x+1)^2}+\root(3){x^2-1}+\root(3){(x-1)^2}}$
L'ordine della potenza della $x$ del denominatore ($2/3$) è maggiore di quello al numeratore ($1/2$) e quindi il tutto va a zero.
Effettivamente non si capisce come mai all'esterno resta quel $-\sqrt(x)$: moltiplicando il $\root(3){x-1}$ per $\sqrt(x)$ si ottiene $\root(6){x^3(x-1)^2}$ che non c'entra molto con quello che resta... Io personalmente il punto morto lo trovo qui...
Ovviamente può anche darsi che ci sia qualche limite notevole che ora mi sfugge...
$\sqrt(x)(\root(3){x+1}-\root(3){x-1})= \sqrt(x)\frac{x+1-x+1}{\root(3){(x+1)^2}+\root(3){x^2-1}+\root(3){(x-1)^2}}$
=$\frac{2\sqrt(x)}{\root(3){(x+1)^2}+\root(3){x^2-1}+\root(3){(x-1)^2}}$
L'ordine della potenza della $x$ del denominatore ($2/3$) è maggiore di quello al numeratore ($1/2$) e quindi il tutto va a zero.
Effettivamente non si capisce come mai all'esterno resta quel $-\sqrt(x)$: moltiplicando il $\root(3){x-1}$ per $\sqrt(x)$ si ottiene $\root(6){x^3(x-1)^2}$ che non c'entra molto con quello che resta... Io personalmente il punto morto lo trovo qui...
Ovviamente può anche darsi che ci sia qualche limite notevole che ora mi sfugge...
Ehy hai ragione. Quando ho applicato la razionalizzazione sbagliando l'ho scritta al contrario quindi mi veniva un'altra cosa . Comunque ora ho capito come risolvere quel passaggio e pensadoci su, il metodo da loro adottato è più semplice infatti si ha che per $x->0$ la quantità $root(3)(x-1)~_0-1$ quindi abbiamo fuori $-sqrtx$ 
Era tutto quì il trucco.
. Comunque ora ho capito come risolvere quel passaggio e pensadoci su, il metodo da loro adottato è più semplice infatti si ha che per $x->0$ la quantità $root(3)(x-1)~_0-1$ quindi abbiamo fuori $-sqrtx$ Era tutto quì il trucco.
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