Limite con parametro Lambda
Salve a tutti sto combattendo in questi giorni con questo limite:
$lim_{x \to \0}\frac(ln(1+x^3)sinx)( \lambdax^(4/3)-tanx^(4/3))$
Ho provato a risolvere questo limite con due approcci differenti:
il primo è stato quello di rifarmi ai limiti notevoli per poi arrivare a questo risultato:
$lim_{x \to \0}\frac(x^4)(x^(4/3)( \lambda-1)$ -> $lim_{x \to \0}\frac(1)(x^(1/3)( \lambda-1)$
il secondo è stato quello di applicare Taylor fino al quarto grado e sono arrivato fino a qui:
$lim_{x \to \0}\frac(1)(\lambdax^(1/3)-x^(1/3)-1/3)$
Vedendo con i grafici di desmos di questa funzione sono arrivato a capire che per $\lambda=1$ il limite tende a -3 mentre per tutti gli altri valori il limite tende a 0.
Con Taylor penso di essere andato più vicino alla soluzione rispetto al primo caso, ma rimane il fatto che se lambda non è uguale a 1 il limite mi va a + o - infinito a seconda di lamda... Cosa sbaglio ? ):
$lim_{x \to \0}\frac(ln(1+x^3)sinx)( \lambdax^(4/3)-tanx^(4/3))$
Ho provato a risolvere questo limite con due approcci differenti:
il primo è stato quello di rifarmi ai limiti notevoli per poi arrivare a questo risultato:
$lim_{x \to \0}\frac(x^4)(x^(4/3)( \lambda-1)$ -> $lim_{x \to \0}\frac(1)(x^(1/3)( \lambda-1)$
il secondo è stato quello di applicare Taylor fino al quarto grado e sono arrivato fino a qui:
$lim_{x \to \0}\frac(1)(\lambdax^(1/3)-x^(1/3)-1/3)$
Vedendo con i grafici di desmos di questa funzione sono arrivato a capire che per $\lambda=1$ il limite tende a -3 mentre per tutti gli altri valori il limite tende a 0.
Con Taylor penso di essere andato più vicino alla soluzione rispetto al primo caso, ma rimane il fatto che se lambda non è uguale a 1 il limite mi va a + o - infinito a seconda di lamda... Cosa sbaglio ? ):
Risposte
Abbiamo il limite
$$\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x^3) \sin x}{\lambda x^\frac{4}{3}-\tan x^{\frac{4}{3}}}$$
Applicando Taylor al numeratore si ha
$$\ln(1+x^3) \sin x=[x^3+o(x^3)][x+o(x)]=x^4+o(x^4)$$
Mentre al denominatore risulta
$$\tan x^{\frac{4}{3}}=x^{\frac{4}{3}}+\frac{1}{3} \left(x^{\frac{4}{3}}\right)^3+o\left[\left(x^\frac{4}{3}\right)^3\right]=x^{\frac{4}{3}}+\frac{1}{3} x^4+o(x^4)$$
Pertanto risulta
$$\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x^3) \sin x}{\lambda x^\frac{4}{3}-\tan x^{\frac{4}{3}}}=\lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)}$$
Perché ho sviluppato oltre la tangente? Perché, per $\lambda=1$, si ha che rimarrebbe un o-piccolo al denominatore e dunque non si hanno informazioni precise: bisogna proseguire con lo sviluppo.
Perciò, se $\lambda=1$ si ha
$$\lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)}=\lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)}=\lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)}=$$
$$=\lim_{x\to0} \frac{x^4 \left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}{-\frac{1}{3} x^4 \left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}=\lim_{x\to0} \frac{1+\frac{o(x^4)}{x^4}}{-\frac{1}{3} \left[1+\frac{-3 o(x^4)}{x^4} \right]}=-3$$
Se $\lambda\ne 1$ si ha che
$$\lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^4-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)}=\lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}+o\left(x^{\frac{4}{3}}\right)}=\lim_{x\to0} \frac{x^4 \left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}{\lambda x^{\frac{4}{3}} \left[1+\frac{o\left(x^{\frac{4}{3}}\right)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}}\right]}=$$
$$=\lim_{x\to0} \frac{x^\frac{8}{3} \left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}{\lambda \left[1+\frac{o\left(x^{\frac{4}{3}}\right)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}}\right]}=0$$
Comunque sbagli due cose, la prima sono le proprietà delle potenze: $\frac{x^4}{x^{\frac{4}{3}}}=x^{4-\frac{4}{3}}=x^{\frac{12}{3}-\frac{4}{3}}=x^{\frac{8}{3}}$, perciò procedendo come hai fatto tu, se $\lambda\ne 1$,
$$\lim_{x \to0} \frac{x^4}{x^{\frac{4}{3}}(\lambda-1)}=\lim_{x\to0} \frac{x^{\frac{8}{3}}}{\lambda -1}=0$$
in questo caso il limite è $0$ in maniera ininfluente da $\lambda$ a meno che non ti serva sapere se sia $0^+$ o $0^-$; in tal caso allora dipende dal segno di $\lambda$.
Le proprietà delle potenze sono sicuro siano state semplicemente una distrazione: ma la seconda cosa, importantissima, è che sbagli a non mettere l'o-piccolo.
Se avessi sviluppato correttamente usando l'o-piccolo, avresti notato che, per $\lambda=1$, sarebbe rimasto un o-piccolo vagante e che dunque la tua approssimazione doveva migliorare. Sempre scrivere l'o-piccolo
(in realtà con una certa esperienza non lo scrivi più perché ti rompi le palle, ma hai una certa esperienza e puoi permetterti di fare il burlone per poi sbagliare miseramente ed essere preso in giro da tutti )
$$\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x^3) \sin x}{\lambda x^\frac{4}{3}-\tan x^{\frac{4}{3}}}$$
Applicando Taylor al numeratore si ha
$$\ln(1+x^3) \sin x=[x^3+o(x^3)][x+o(x)]=x^4+o(x^4)$$
Mentre al denominatore risulta
$$\tan x^{\frac{4}{3}}=x^{\frac{4}{3}}+\frac{1}{3} \left(x^{\frac{4}{3}}\right)^3+o\left[\left(x^\frac{4}{3}\right)^3\right]=x^{\frac{4}{3}}+\frac{1}{3} x^4+o(x^4)$$
Pertanto risulta
$$\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x^3) \sin x}{\lambda x^\frac{4}{3}-\tan x^{\frac{4}{3}}}=\lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)}$$
Perché ho sviluppato oltre la tangente? Perché, per $\lambda=1$, si ha che rimarrebbe un o-piccolo al denominatore e dunque non si hanno informazioni precise: bisogna proseguire con lo sviluppo.
Perciò, se $\lambda=1$ si ha
$$\lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)}=\lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)}=\lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)}=$$
$$=\lim_{x\to0} \frac{x^4 \left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}{-\frac{1}{3} x^4 \left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}=\lim_{x\to0} \frac{1+\frac{o(x^4)}{x^4}}{-\frac{1}{3} \left[1+\frac{-3 o(x^4)}{x^4} \right]}=-3$$
Se $\lambda\ne 1$ si ha che
$$\lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^4-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)}=\lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}+o\left(x^{\frac{4}{3}}\right)}=\lim_{x\to0} \frac{x^4 \left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}{\lambda x^{\frac{4}{3}} \left[1+\frac{o\left(x^{\frac{4}{3}}\right)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}}\right]}=$$
$$=\lim_{x\to0} \frac{x^\frac{8}{3} \left[1+\frac{o(x^4)}{x^4}\right]}{\lambda \left[1+\frac{o\left(x^{\frac{4}{3}}\right)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}}\right]}=0$$
"erMate98":
$lim_{x \to \0}\frac(x^4)(x^(4/3)( \lambda-1)$ -> $lim_{x \to \0}\frac(1)(x^(1/3)( \lambda-1)$
Con Taylor penso di essere andato più vicino alla soluzione rispetto al primo caso, ma rimane il fatto che se lambda non è uguale a 1 il limite mi va a + o - infinito a seconda di lamda... Cosa sbaglio ? ):
Comunque sbagli due cose, la prima sono le proprietà delle potenze: $\frac{x^4}{x^{\frac{4}{3}}}=x^{4-\frac{4}{3}}=x^{\frac{12}{3}-\frac{4}{3}}=x^{\frac{8}{3}}$, perciò procedendo come hai fatto tu, se $\lambda\ne 1$,
$$\lim_{x \to0} \frac{x^4}{x^{\frac{4}{3}}(\lambda-1)}=\lim_{x\to0} \frac{x^{\frac{8}{3}}}{\lambda -1}=0$$
in questo caso il limite è $0$ in maniera ininfluente da $\lambda$ a meno che non ti serva sapere se sia $0^+$ o $0^-$; in tal caso allora dipende dal segno di $\lambda$.
Le proprietà delle potenze sono sicuro siano state semplicemente una distrazione: ma la seconda cosa, importantissima, è che sbagli a non mettere l'o-piccolo.
Se avessi sviluppato correttamente usando l'o-piccolo, avresti notato che, per $\lambda=1$, sarebbe rimasto un o-piccolo vagante e che dunque la tua approssimazione doveva migliorare. Sempre scrivere l'o-piccolo
(in realtà con una certa esperienza non lo scrivi più perché ti rompi le palle, ma hai una certa esperienza e puoi permetterti di fare il burlone per poi sbagliare miseramente ed essere preso in giro da tutti )
Grazie tante per la risposta, volevo chiederti:
\[ \lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^4-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)} \]
questo è il caso di lambda diverso da 1, non so se sbaglio, ma il denominatore non dovrebbe essere
$\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^(4/3)-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)$
e se si e voglio abbassare il grado dell'o-piccolo mi rimarrebbe un termine in più giusto?
$\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^(4/3)+o(x^(4/3))$
Io ho continuato a sviluppare questo caso (ripeto, non sono sicurissimo sia giusto
) e arrivo alla conclusione che ->
\[ \lim_{x\to0}\frac{x^\frac{8}{3}(1+\frac{o[x^4]}{x^4})}{\lambda(1-\frac{1}{\lambda}+\frac{o[x^\frac{4}{3}]}{\lambda x^\frac{4}{3}})} \]
e che quindi per ogni valore di lambda diverso da 1 il limite è 0.
Praticamente la "difficoltà" di questo esercizio stava nel sviluppare un grado in meno al denominatore per il secondo caso?
Comunque grazie veramente di tutto mi hai aperto gli occhi per molte cose !
\[ \lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^4-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)} \]
questo è il caso di lambda diverso da 1, non so se sbaglio, ma il denominatore non dovrebbe essere
$\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^(4/3)-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)$
e se si e voglio abbassare il grado dell'o-piccolo mi rimarrebbe un termine in più giusto?
$\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^(4/3)+o(x^(4/3))$
Io ho continuato a sviluppare questo caso (ripeto, non sono sicurissimo sia giusto
) e arrivo alla conclusione che ->\[ \lim_{x\to0}\frac{x^\frac{8}{3}(1+\frac{o[x^4]}{x^4})}{\lambda(1-\frac{1}{\lambda}+\frac{o[x^\frac{4}{3}]}{\lambda x^\frac{4}{3}})} \]
e che quindi per ogni valore di lambda diverso da 1 il limite è 0.
Praticamente la "difficoltà" di questo esercizio stava nel sviluppare un grado in meno al denominatore per il secondo caso?
Comunque grazie veramente di tutto mi hai aperto gli occhi per molte cose !
"erMate98":
Grazie tante per la risposta, volevo chiederti:
\[ \lim_{x\to0} \frac{x^4+o(x^4)}{\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^4-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)} \]
questo è il caso di lambda diverso da 1, non so se sbaglio, ma il denominatore non dovrebbe essere
$\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^(4/3)-\frac{1}{3}x^4+o(x^4)$
e se si e voglio abbassare il grado dell'o-piccolo mi rimarrebbe un termine in più giusto?
$\lambda x^{\frac{4}{3}}-x^(4/3)+o(x^(4/3))$
Io ho continuato a sviluppare questo caso (ripeto, non sono sicurissimo sia giusto
\[ \lim_{x\to0}\frac{x^\frac{8}{3}(1+\frac{o[x^4]}{x^4})}{\lambda(1-\frac{1}{\lambda}+\frac{o[x^\frac{4}{3}]}{\lambda x^\frac{4}{3}})} \]
e che quindi per ogni valore di lambda diverso da 1 il limite è 0.
Hai pienamente ragione sulla prima parte quando dici del denominatore
è un errore di trascrizione, alla lunga a scrivere i limiti così pieni di calcoli al computer qualcosa lo scrivi sbagliato per forza!Quindi sì, è come hai scritto tu: come hai notato, anche se c'è quel termine $-\frac{1}{\lambda}$ in più esso è ininfluente sul risultato del limite se $\lambda\ne1$.
"erMate98":
Praticamente la "difficoltà" di questo esercizio stava nel sviluppare un grado in meno al denominatore per il secondo caso?
Comunque grazie veramente di tutto mi hai aperto gli occhi per molte cose !
Diciamo che quando ci sono esercizi così, ossia con un parametro che moltiplica le variabili, la difficoltà è principalmente questa: proprio come in questo esercizio, ci sono alcuni valori del parametro che potrebbero annullare dei termini.
Questo causa ovviamente una perturbazione del grado delle variabili nel limite che stai trattando (e, come sai, con Taylor il grado è tutto), perché potrebbero (come è successo ora) scomparire termini che erano rilevanti per il risultato del limite.
Perciò questa perturbazione va sistemata sviluppando ulteriormente per vedere cosa succede con più precisione, discutendo opportunamente tutti i casi in base ai valori del parametro.
Perfetto, mi hai aiutato tanto, grazie mille per la disponibilità e scusa per tutti i limiti che hai scritto ! 
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