Limite con parametro (e Taylor?)
Buonasera a tutti.
Devo risolvere i seguenti esercizi:
Considero il primo esercizio che ho svolto, visto che la metodologia sarà simile per tutti.
Ho provato a sviluppare ogni funzione con McLaurin (fino al terzo grado), ottenendo:
$ sin (x)^2 = x^2 + o(x^4) $
$ cos (x^2) = 1 + o(x^4) $
$ ln (1+x) = x-x^2/2+x^3/3 + o(x^4) $
Sostituendo, mi si annulla il numeratore; al denominatore, avendo il limite per 0, considero il termine dello sviluppo del logaritmo di grado minore, ottenendo alla fine:
$ lim_(x -> 0^+) 0/(x^(\alpha+1)) $
Questo mi porterebbe ad una forma indeterminata $ AA \alpha $ ...
Non so come comportarmi, perché onestamente questa strada mi sembrava l'unica percorribile per questo tipo di esercizio... Prima di imbarcarmi nei conti degli altri, volevo capire se fosse effettivamente il metodo giusto da utilizzare.
C'è qualcosa (magari di banale) che mi sfugge?
Grazie in anticipo.
Devo risolvere i seguenti esercizi:
Considero il primo esercizio che ho svolto, visto che la metodologia sarà simile per tutti.
Ho provato a sviluppare ogni funzione con McLaurin (fino al terzo grado), ottenendo:
$ sin (x)^2 = x^2 + o(x^4) $
$ cos (x^2) = 1 + o(x^4) $
$ ln (1+x) = x-x^2/2+x^3/3 + o(x^4) $
Sostituendo, mi si annulla il numeratore; al denominatore, avendo il limite per 0, considero il termine dello sviluppo del logaritmo di grado minore, ottenendo alla fine:
$ lim_(x -> 0^+) 0/(x^(\alpha+1)) $
Questo mi porterebbe ad una forma indeterminata $ AA \alpha $ ...
Non so come comportarmi, perché onestamente questa strada mi sembrava l'unica percorribile per questo tipo di esercizio... Prima di imbarcarmi nei conti degli altri, volevo capire se fosse effettivamente il metodo giusto da utilizzare.
C'è qualcosa (magari di banale) che mi sfugge?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao ale311,
Si verificano cancellazioni al numeratore, quindi avrei fatto il contrario di quello che hai fatto tu: avrei sviluppato $log(1 + x) $ solo fino al primo ordine, mentre sarei andato oltre per quelli a numeratore...
Si verificano cancellazioni al numeratore, quindi avrei fatto il contrario di quello che hai fatto tu: avrei sviluppato $log(1 + x) $ solo fino al primo ordine, mentre sarei andato oltre per quelli a numeratore...
Ah, ok, perfetto.
Avevo dubbi in effetti se fosse corretto e "lecito" sviluppare le varie funzioni per gradi diversi!
Ho provato a sviluppare ancora un grado il seno e limitarmi al primo grado per il logaritmo, ottenendo:
$ lim_(x -> 0^+) ((8x^4+1)^3-1)/(x^(\alpha+1))~ lim_(x -> 0^+) 24*(x^4)/(x^(\alpha+1)) $
da cui la ovvia conclusione nei 3 casi.
Credo sia corretto ora.
Grazie!
Avevo dubbi in effetti se fosse corretto e "lecito" sviluppare le varie funzioni per gradi diversi!
Ho provato a sviluppare ancora un grado il seno e limitarmi al primo grado per il logaritmo, ottenendo:
$ lim_(x -> 0^+) ((8x^4+1)^3-1)/(x^(\alpha+1))~ lim_(x -> 0^+) 24*(x^4)/(x^(\alpha+1)) $
da cui la ovvia conclusione nei 3 casi.
Credo sia corretto ora.
Grazie!
Colgo l'occasione per chiedere un'altra cosa, che ho riscontrato provando a risolvere il secondo esercizio.
Avendo il parametro all'interno del logaritmo, mi trovo in difficoltà a fare lo sviluppo di McLaurin, non sapendo precisamente a che grado io abbia un termine che non si annulla (lo avrei al grado "alfa+1 - esimo")... Come posso sviluppare in maniera opportuna la funzione?
Avendo il parametro all'interno del logaritmo, mi trovo in difficoltà a fare lo sviluppo di McLaurin, non sapendo precisamente a che grado io abbia un termine che non si annulla (lo avrei al grado "alfa+1 - esimo")... Come posso sviluppare in maniera opportuna la funzione?
Beh, mi fermerei anche in questo caso al primo ordine, cioè [tex]\log(1 + x^{\alpha}) \sim x^{\alpha}[/tex], naturalmente nel caso $\alpha > 0 $
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