Limite con parametro $alpha$
Dato il limite
$ lim_(x -> 0^+)(sinh^3x + x^a + log(1-x^a))/((1-cosx)^a+tan^3x) $
calcolarlo per:
1) a = 1
2) a = $3/2$
3) per i restanti a > 0
mi trovo in difficoltà a svolgere anche il primo punto: io ho pensato di semplificare il limite usando le serie di taylor e il risultato è il seguente:
1) $lim_(x -> 0^+)(x^3 + x + log(1-x))/(1-1+(x^2)/2+x^3)$
ma mi ritrovo bloccato... E' giusto questo procedimento?
Qualcuno può darmi un consiglio?
$ lim_(x -> 0^+)(sinh^3x + x^a + log(1-x^a))/((1-cosx)^a+tan^3x) $
calcolarlo per:
1) a = 1
2) a = $3/2$
3) per i restanti a > 0
mi trovo in difficoltà a svolgere anche il primo punto: io ho pensato di semplificare il limite usando le serie di taylor e il risultato è il seguente:
1) $lim_(x -> 0^+)(x^3 + x + log(1-x))/(1-1+(x^2)/2+x^3)$
ma mi ritrovo bloccato... E' giusto questo procedimento?
Qualcuno può darmi un consiglio?
Risposte
Manca la serie del logaritmo.
Anche gli o-piccoli sono stati tralasciati, ma queste pratiche sono rischiose.
Anche gli o-piccoli sono stati tralasciati, ma queste pratiche sono rischiose.
la serie del log non so svilupparla se l'argomento è (1-x), ma solo quando c'è log(1+x)
gli o piccoli li ho trascurati per essere più veloce...
Sapresti consigliarmi un percorso alternativo se dici che questo non è corretto?
gli o piccoli li ho trascurati per essere più veloce...
Sapresti consigliarmi un percorso alternativo se dici che questo non è corretto?
Questo percorso è corretto e di alternativi non ce ne sono. Ma devi sviluppare il logaritmo. Pensaci un po' e vedrai che la soluzione non è difficile (se lo sai fare per $\log(1+x)$). In ogni caso attento a non trascurare i termini utili.
1) allora dovrebbe essere così: $lim_(x -> 0^+)(x^3 + x - x +o(x^3))/(1-1+(x^2)/2+x^3+o(x^3))$
e quindi il $lim -> $1 per $x ->0^+$ è corretto il risultato?
inoltre è giusto fermarsi allo sviluppo del primo ordine?
e quindi il $lim -> $1 per $x ->0^+$ è corretto il risultato?
inoltre è giusto fermarsi allo sviluppo del primo ordine?
Non puoi prendere solo i primi termini: perdi infinitesimi. Ad esempio, nel primo caso, il numeratore diventa, sviluppando correttamente, $-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.
ok penso di aver capito, ma come faccio a decidere a quale ordine fermarmi?
in questo caso passo al secondo ordine perchè altrimenti spariscono alcuni termini?
in questo caso passo al secondo ordine perchè altrimenti spariscono alcuni termini?
mi risulta che per gli $03/2$ il limite tende a $1$ e per gli $alpha = 3/2$ il limite tende a $1/3$
qualcuno può dirmi se è giusto?
qualcuno può dirmi se è giusto?
Vediamo: sviluppando nel modo corretto la funzione nel limite risulta
[tex]$\frac{x^3-\frac{x^{2\alpha}}{2}}{\frac{x^{2\alpha}}{2^\alpha}+x^3}$[/tex]
Pertanto, se $0<\alpha<\frac{3}{2}$ il limite risulta pari a
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{-\frac{x^{2\alpha}}{2}}{\frac{x^{2\alpha}}{2^\alpha}}=-2^{\alpha-1}$[/tex]
Per $\alpha=\frac{3}{2}$ si ha
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{x^3-\frac{x^3}{2}}{\frac{x^3}{2\sqrt{2}}+x^3}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}$[/tex]
Infine per $\alpha>\frac{3}{2}$ si ha
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{x^3}{x^3}=1$[/tex]
[tex]$\frac{x^3-\frac{x^{2\alpha}}{2}}{\frac{x^{2\alpha}}{2^\alpha}+x^3}$[/tex]
Pertanto, se $0<\alpha<\frac{3}{2}$ il limite risulta pari a
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{-\frac{x^{2\alpha}}{2}}{\frac{x^{2\alpha}}{2^\alpha}}=-2^{\alpha-1}$[/tex]
Per $\alpha=\frac{3}{2}$ si ha
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{x^3-\frac{x^3}{2}}{\frac{x^3}{2\sqrt{2}}+x^3}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}$[/tex]
Infine per $\alpha>\frac{3}{2}$ si ha
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{x^3}{x^3}=1$[/tex]
cavoli hai ragione! mi ero dimenticato del $2^alpha$ al denominatore
Grazie mille per tutto l'aiuto che mi hai dato
Grazie mille per tutto l'aiuto che mi hai dato
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