Limite con parametro alpha
Devo risolvere il limite $lim_(n->+oo)root(n)(((1-e^(-1/n^alpha))/(n^(-2alpha))))$ al variare del parametro reale positivo $alpha$.
Se $alpha=0$ dovrebbe essere $lim_(n->+oo)root(n)(((1-e^(-1/n^alpha))/(n^(-2alpha))))=lim_(n->+oo)root(n)((1-e^(-1)))=1$. Confermate?
Se $alpha>0$ come posso risolverlo?
Se $alpha=0$ dovrebbe essere $lim_(n->+oo)root(n)(((1-e^(-1/n^alpha))/(n^(-2alpha))))=lim_(n->+oo)root(n)((1-e^(-1)))=1$. Confermate?
Se $alpha>0$ come posso risolverlo?
Risposte
Al momento non ho tempo di provare ma a vederlo così potrebbe in qualche modo essere riconducibile (con qualche sostituzione) alla forma notevole $lim_{t\to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$?
per $a > 0$ puoi utilizzare Taylor: $e^(-1/(n^a)) = 1 - 1/n^a $ e sostituenfo ottieni $lim_(x->\infty) root(n)((n^(2a)/n^a)$
Quindi risulterà $+\infty$.
Nel caso con $a < 0$ puoi usare lo stesso procedimento, ed arrivarei allo stesso punto finale, con la differenza con l'$a$ negativo manderà la$n$ ad den. quindi il limite sarà pari a zero.
Comunque il procedimento che hai usato non è valido in quanto al denominatore avresti la forma indeterminata $\infty^0$
Quindi risulterà $+\infty$.
Nel caso con $a < 0$ puoi usare lo stesso procedimento, ed arrivarei allo stesso punto finale, con la differenza con l'$a$ negativo manderà la$n$ ad den. quindi il limite sarà pari a zero.
Comunque il procedimento che hai usato non è valido in quanto al denominatore avresti la forma indeterminata $\infty^0$
Per $a>0$, semplicemente:
$lim_(n->+\infty)((1-e^(-1/n^a))/n^(-2a))^(1/n)=lim_(n->+\infty)((e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)n^a)^(1/n)=lim_(n->+\infty)n^(a/n)=lim_(n->+\infty)e^(a(logn)/n)=1$
$lim_(n->+\infty)((1-e^(-1/n^a))/n^(-2a))^(1/n)=lim_(n->+\infty)((e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)n^a)^(1/n)=lim_(n->+\infty)n^(a/n)=lim_(n->+\infty)e^(a(logn)/n)=1$
"K.Lomax":
Per $a>0$, semplicemente:
$lim_(n->+\infty)((1-e^(-1/n^a))/n^(-2a))^(1/n)=lim_(n->+\infty)((e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)n^a)^(1/n)=lim_(n->+\infty)n^(a/n)=lim_(n->+\infty)e^(a(logn)/n)=1$
Ah giusto.. e poi avevo totalmente dimenticato di considerare la radice n-esima..XD spero sia stata colpa dell' ora..
"K.Lomax":
Per $a>0$, semplicemente:
$lim_(n->+\infty)((1-e^(-1/n^a))/n^(-2a))^(1/n)=lim_(n->+\infty)((e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)n^a)^(1/n)=lim_(n->+\infty)n^(a/n)=lim_(n->+\infty)e^(a(logn)/n)=1$
c'è qualcosa che non mi convince cioè io credo che non si può prendere una parte della successione $(e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)$ sostituire il limite a cui tende
e rimetterlo nella successione di partenza.
Ad esempio
$lim_(n->+\infty)(n/n)=lim_(n->+\infty)(1/n)n=lim_(n->+\infty)0n=0$ ed è errato poichè $lim_(n->+\infty)(n/n)=1$
"gianni80":
[quote="K.Lomax"]Per $a>0$, semplicemente:
$lim_(n->+\infty)((1-e^(-1/n^a))/n^(-2a))^(1/n)=lim_(n->+\infty)((e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)n^a)^(1/n)=lim_(n->+\infty)n^(a/n)=lim_(n->+\infty)e^(a(logn)/n)=1$
c'è qualcosa che non mi convince cioè io credo che non si può prendere una parte della successione $(e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)$ sostituire il limite a cui tende
e rimetterlo nella successione di partenza.
Ad esempio
$lim_(n->+\infty)(n/n)=lim_(n->+\infty)(1/n)n=lim_(n->+\infty)0n=0$ ed è errato poichè $lim_(n->+\infty)(n/n)=1$[/quote]
No, ciò che hai scritto è sbagliato perchè $lim_(n->+\infty)0n=0$ è una forma indeterminata.
sapevo che mi sarebbe stato contestato questo
è vero è una forma indeterminata ma è anche vero che 0n=0 quindi questa osservazione elimina l'indeterminazione
Esempio
lim 3n/n è indeterminato ma poi si vede 3n/n come 3 e si scrive lim 3n/n = 3
è vero è una forma indeterminata ma è anche vero che 0n=0 quindi questa osservazione elimina l'indeterminazione
Esempio
lim 3n/n è indeterminato ma poi si vede 3n/n come 3 e si scrive lim 3n/n = 3
$0n=0$ solo se stai moltiplicando esattamente per $0$ e non se stai moltiplicando per un fattore che tende a $0$.
si è esatto
ma è esattamente quello che fai tu nella dimostrazione:
consideri $(e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)$ come 1 e questo non è corretto poichè non c'è un teorema che ti permette di sostituire il limite a cui tende una parte della successione e rimetterlo nella successione di partenza senza fare tendere anche la rimanente parte della successione data
ma è esattamente quello che fai tu nella dimostrazione:
"K.Lomax":
Per $a>0$, semplicemente:
$lim_(n->+\infty)((1-e^(-1/n^a))/n^(-2a))^(1/n)=lim_(n->+\infty)((e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)n^a)^(1/n)=lim_(n->+\infty)n^(a/n)=lim_(n->+\infty)e^(a(logn)/n)=1$
consideri $(e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)$ come 1 e questo non è corretto poichè non c'è un teorema che ti permette di sostituire il limite a cui tende una parte della successione e rimetterlo nella successione di partenza senza fare tendere anche la rimanente parte della successione data
$lim_(n->+\infty)((e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)n^a)^(1/n)=lim_(n->+\infty)((e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a))^(1/n)*n^(a/n)$
e dato che
$lim_(n->+\infty)((e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a))^(1/n)=1^0$
non è una forma indeterminata (è $1$ sempre), posso dire che quel termine è sempre unitario.
e dato che
$lim_(n->+\infty)((e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a))^(1/n)=1^0$
non è una forma indeterminata (è $1$ sempre), posso dire che quel termine è sempre unitario.
Però puoi studiare a parte il limite di $n^{a/n}$ e successivamente valutare insieme il limite di questo e della forma indeterminata quindi nella sostanza la cosa non cambia.
Grazie delle risposte.
Una cosa in parte simile e' questa:
$lim_(n->0)(1-sqrt(n+1)/sqrt(n+2))^(alpha/n)$ con alpha sempre positivo.
a me sembra che risulti 1 indipendentemente da alpha...e' possibile?
Una cosa in parte simile e' questa:
$lim_(n->0)(1-sqrt(n+1)/sqrt(n+2))^(alpha/n)$ con alpha sempre positivo.
a me sembra che risulti 1 indipendentemente da alpha...e' possibile?
"Injo":
Però puoi studiare a parte il limite di $n^{a/n}$ e successivamente valutare insieme il limite di questo e della forma indeterminata quindi nella sostanza la cosa non cambia.
esatto stdiarlo a parte
l'unica cosa che non va è che non si dovrebbe scrivere
secondo me
$lim_(n->+\infty)((e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)n^a)^(1/n)=lim_(n->+\infty)n^(a/n)$
ma dopo aver studiato a parte i limiti si scrive
$lim_(n->+\infty)((e^(-1/n^a)-1)/(-1/n^a)n^a)^(1/n)=1$
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