Limite con parametro
Ho questo esercizio:
$ lim_(x -> 0) [(e^x)^2 - cos(senx)]/ (x^2)^a $
mi dice calcolarlo al variare del parametro a che appartiene ai Reali
Allora in questo caso io dovrei studiare il valore del limite..per a>0 e a<0? o sbaglio?
nel primo caso lo dovrei risolvere poi con i limiti notevoli mentre per a
$ lim_(x -> 0) [(e^x)^2 - cos(senx)]/ (x^2)^a $
mi dice calcolarlo al variare del parametro a che appartiene ai Reali
Allora in questo caso io dovrei studiare il valore del limite..per a>0 e a<0? o sbaglio?
nel primo caso lo dovrei risolvere poi con i limiti notevoli mentre per a
Risposte
Perchè non provi con gli sviluppi di Taylor ?
Ad analisi 1 non li abbiamo fatti XD
Bene provo a cimentarmi,mi piacerebbe un giudizio da parte degli esperti 
Innanzitutto non credo si possa utilizzare il limite notevole a cui alludevi,era questo ??? $ lim x->0 (e^x-1)/x=1 $
Adesso valutiamo i casi ,senza Taylor visto che non l'hai fatto..
Caso a>0
Qui avrai da considerare il problema a denominatore,cmq risolvibile con l'Hopital essendo caso 0/0
Esempio
$ lim x->0^pm (e^(2x)-cos(sin(x)))/x^2 $
$ lim x->0^pm (e^(2x)-1)/(2x)=pm oo $
Caso a<0
In questo caso valuta una cosa
Qualsiasi numero <0 ti dara una frazione a denominaore,ottendeno cosi Un limite non piu fratto,ma un pordotto,che con la x darà 0
Esempio
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)/((x^2)^-3) $
ottieni il prodotto
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)*x^6 $
che puoi risolvere cosi
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)lim x->0 x^6 $
$ =1*0=0 $
Caso a=0
Più Semplice perché perdi il problema a denominatore,devi solo calcolare il numeratore
Esempio
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)/((x^2)^0) $
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)=1-1=0 $
ciao
Innanzitutto non credo si possa utilizzare il limite notevole a cui alludevi,era questo ??? $ lim x->0 (e^x-1)/x=1 $
Adesso valutiamo i casi ,senza Taylor visto che non l'hai fatto..
Caso a>0
Qui avrai da considerare il problema a denominatore,cmq risolvibile con l'Hopital essendo caso 0/0
Esempio
$ lim x->0^pm (e^(2x)-cos(sin(x)))/x^2 $
$ lim x->0^pm (e^(2x)-1)/(2x)=pm oo $
Caso a<0
In questo caso valuta una cosa
Qualsiasi numero <0 ti dara una frazione a denominaore,ottendeno cosi Un limite non piu fratto,ma un pordotto,che con la x darà 0
Esempio
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)/((x^2)^-3) $
ottieni il prodotto
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)*x^6 $
che puoi risolvere cosi
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)lim x->0 x^6 $
$ =1*0=0 $
Caso a=0
Più Semplice perché perdi il problema a denominatore,devi solo calcolare il numeratore
Esempio
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)/((x^2)^0) $
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)=1-1=0 $
ciao
ODDIO GRAZIE **
"Gianni91":
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)/((x^2)^-3) $
ottieni il prodotto
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)*x^6 $
che puoi risolvere cosi
$ lim x->0 (2e^(2x)-1)lim x->0 x^6 $
$ =1*0=0 $
Caso a=0
Tralasciando il fatto che qua sembri quasi sottintendere che $lim_(x-> a) f*g= lim_(x->a) f * lim_(x->a)g$, che non è vero, spero tu ben sappia cos'è una forma di indecisione, non mi pare che $lim_(x->0) (2e^(2x)-1) = 1$.
A parte ciò, dividerlo in casi come hai fatto tu è una buona strategia, le conclusioni sul caso $alpha<=0$ mi sembrano corrette.
Sul caso $alpha>0$ però non ci siamo proprio, non ho nemmeno capito quale sarebbe la tua conclusione; ma soprattutto, come hai applicato de l'Hopital?
"Giuly19":
Sul caso $alpha>0$ però non ci siamo proprio, non ho nemmeno capito quale sarebbe la tua conclusione; ma soprattutto, come hai applicato de l'Hopital?
chiedo scusa,mi sono spiegato male..
$ lim_(x -> 0^pm) (2e^(2x)+cosx*sin(sinx))/(2x)=2/0=pm oo $
Comunque volevo semplicemente dire che con $ a > 0 $ ,con L' hopital posso risolvere facilmente ottenedo sempre $ oo $
"Giuly19":
Tralasciando il fatto che qua sembri quasi sottintendere che $lim_(x-> a) f*g= lim_(x->a) f * lim_(x->a)g$, che non è vero, spero tu ben sappia cos'è una forma di indecisione, non mi pare che $lim_(x->0) (2e^(2x)-1) = 1$.
Effettivamente avevo analizzato troppo facilmente questo limite,avevo dato certo il risultato
Non li abbiamo fatti a lezione,i limiti di indecisone...
Mi piacerebbe che me ne parlassi..
Beh ma non è vero, per $a=1/2$ quel limite non fa $pm oo$.. stai attento ad usare de l'Hopital, avresti potuto farlo meglio.
Non è necessario Taylor, né Hopital. Basta usare il confronto locale. Infatti
[tex]$(e^x)^2=e^{2x}\sim 1+2x,\qquad \cos(\sin x)\sim\cos x\sim 1-\frac{x^2}{2}$[/tex]
e pertanto per il numeratore si ha [tex]$e^{2x}-\cos(\sin x)\sim 2x$[/tex]. Pertanto per il limite
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-\cos(\sin x)}{x^{2\alpha}}=\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^{2\alpha}}=\lim_{x\to 0} 2x^{1-2\alpha}=
\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & \qquad \alpha<1/2\\ 2 & & \qquad \alpha=1/2\\ \infty & & \alpha>1/2
\end{array}\right.$[/tex]
@gianni: ma che hai fatto? Non capisco niente! E soprattutto, dove sparisce la $\alpha$? Chi ti dice che, necessariamente, la suddivisione vada fatta per i valori positivi e negativi? Questo è un modo barbarico di ragionare!
[tex]$(e^x)^2=e^{2x}\sim 1+2x,\qquad \cos(\sin x)\sim\cos x\sim 1-\frac{x^2}{2}$[/tex]
e pertanto per il numeratore si ha [tex]$e^{2x}-\cos(\sin x)\sim 2x$[/tex]. Pertanto per il limite
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-\cos(\sin x)}{x^{2\alpha}}=\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^{2\alpha}}=\lim_{x\to 0} 2x^{1-2\alpha}=
\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & \qquad \alpha<1/2\\ 2 & & \qquad \alpha=1/2\\ \infty & & \alpha>1/2
\end{array}\right.$[/tex]
@gianni: ma che hai fatto? Non capisco niente! E soprattutto, dove sparisce la $\alpha$? Chi ti dice che, necessariamente, la suddivisione vada fatta per i valori positivi e negativi? Questo è un modo barbarico di ragionare!
Inizio a confondermi XD
comunque solamente col confronto locale quindi è risolvibile?
comunque solamente col confronto locale quindi è risolvibile?
Maryse, segui il metodo di calcolo che ti ho suggerito io.
okok scusate ci ho provato...
Cmq sarei interessato a delle informazioni in piu sui limiti di indecisione...
Cmq sarei interessato a delle informazioni in piu sui limiti di indecisione...
"ciampax":
Maryse, segui il metodo di calcolo che ti ho suggerito io.
Ok grazie
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