Limite con parametro
Salve a tutti,
ho un esercizio che mi chiede di determinare una n tale che:
$ lim_(x -> 0)(log(1+x+x^2)+log(1-x+x^2)-x^2-1/2x^4)/(x^n) $
sia finito e diverso da zero.
Premetto che l'esercizio l'ho risolto (anche con l'aiuto di derive) sviluppando i polinomi di taylor dei due logaritmi fino all'ordine 6! Secondo voi esiste un modo più semplice?? Altrimenti mi ci vogliono le ore per fare un esercizio del genere!!
ho un esercizio che mi chiede di determinare una n tale che:
$ lim_(x -> 0)(log(1+x+x^2)+log(1-x+x^2)-x^2-1/2x^4)/(x^n) $
sia finito e diverso da zero.
Premetto che l'esercizio l'ho risolto (anche con l'aiuto di derive) sviluppando i polinomi di taylor dei due logaritmi fino all'ordine 6! Secondo voi esiste un modo più semplice?? Altrimenti mi ci vogliono le ore per fare un esercizio del genere!!
Risposte
"UbuntuRules":
Salve a tutti,
ho un esercizio che mi chiede di determinare una n tale che:
$ lim_(x -> 0)(log(1+x+x^2)+log(1-x+x^2)-x^2-1/2x^4)/(x^n) $
sia finito e diverso da zero.
Premetto che l'esercizio l'ho risolto (anche con l'aiuto di derive) sviluppando i polinomi di taylor dei due logaritmi fino all'ordine 6! Secondo voi esiste un modo più semplice?? Altrimenti mi ci vogliono le ore per fare un esercizio del genere!!
Puoi constatare che $log( 1 + x + x^2 ) sim log( 1 + x )$ e $log( 1 - x + x^2 ) sim log( 1 - x )$ per $x -> 0$.
Applicando De L'Hospital: $ lim_(x -> 0)(log(1+x)+log(1-x)-x^2-1/2x^4)/(x^n) Leftarrow lim_(x -> 0)(1/(1+x) - 1/(1 - x) - 2x - 2x^3)/(x^n) $
Scusami non riesco a vedere come la cosa mi possa portare a una soluzione..
"UbuntuRules":
Scusami non riesco a vedere come la cosa mi possa portare a una soluzione..
Devi fare qualche conto, mi sembra ovvio...
mi sembrava ovvio che qualche conto io l'avessi provato a fare prima di risponderti..se ricalcolo i polinomi di taylor a partire dalle stime dei logaritmi il risultato non esce più, se vado avanti con l'Hospital da dove hai interrotto tu non ottengo nulla allo stesso modo mi sembra, e lo stesso se provo a sviluppare la successione in qualche modo algebrico..
$lim_(x -> 0)(1/(1+x) - 1/(1 - x) - 2x - 2x^3)/(x^n) $
$lim_(x -> 0)(((1 - x) - ( 1 + x ) - 2x ((1+x)(1 - x) ) - 2x^3 ((1+x)(1 - x) ) )/((1+x)(1 - x)(x^n) )$
Portando avanti i conti trovi:
$lim_(x -> 0) (2x^5 - 4x)/((1 - x^2)x^n) = lim_(x -> 0) 1/( 1 - x^2) * (2x^5 - 4x)/(x^n) $
Evidentemente dovrà aversi $n = 1$ se si vuole che quel limite risulti finito e diverso da $0$.
$lim_(x -> 0)(((1 - x) - ( 1 + x ) - 2x ((1+x)(1 - x) ) - 2x^3 ((1+x)(1 - x) ) )/((1+x)(1 - x)(x^n) )$
Portando avanti i conti trovi:
$lim_(x -> 0) (2x^5 - 4x)/((1 - x^2)x^n) = lim_(x -> 0) 1/( 1 - x^2) * (2x^5 - 4x)/(x^n) $
Evidentemente dovrà aversi $n = 1$ se si vuole che quel limite risulti finito e diverso da $0$.
ho due domande:
1) quando avevi applicato l'Hospital la prima volta, a denominatore non sarebbe dovuto comparire $nx^(n-1)$ ?
2) se provo ad imporre n=1 nel limite iniziale e a calcolarlo con derive, esce come risultato 0. Com'è possibile?
P.S. sviluppando i polinomi di taylor come avevo fatto in principio mi esce che n deve essere uguale a 6 e il limite tende a $-2/3$, verificato con derive.
1) quando avevi applicato l'Hospital la prima volta, a denominatore non sarebbe dovuto comparire $nx^(n-1)$ ?
2) se provo ad imporre n=1 nel limite iniziale e a calcolarlo con derive, esce come risultato 0. Com'è possibile?
P.S. sviluppando i polinomi di taylor come avevo fatto in principio mi esce che n deve essere uguale a 6 e il limite tende a $-2/3$, verificato con derive.
Io sono d'accordo con Ubunturules: credo che Seneca si sia perso qualche ordine di infinitesimo! 
Il numeratore è un infinitesimo di ordine sei!
Il numeratore è un infinitesimo di ordine sei!
clampax tu cosa ne pensi? c'è un modo più semplice per risolvere il problema che fare polinomi di taylor di ordine 6? 
L'idea semplice è questa: scrivi
[tex]$\log(1+x+x^2)+\log(1-x+x^2)=\log[(1+x+x^2)(1-x+x^2)]=\log[(1+x^2)^2-x^2]=\log[1+2x^2+x^4-x^2]=\log(1+x^2+x^4)=$[/tex]
[tex]$=x^2+x^4-\frac{(x^2+x^4)^2}{2}+\frac{(x^2+x^4)^3}{3}+o(...)=x^2+x^4-\frac{x^4}{2}-x^6+\frac{x^6}{3}+o(x^6)$[/tex]
dove, facendo lo sviluppo, ho considerato che:
1) nel numeratore, le potenze "libere" sono presenti solo fino al quarto grado, per cui mi basta trovare il grado successivo a questo
2) ho evitato di calcolare qualsiasi potenza che venisse superiore al grado 6
Alla fine trovi per il numeratore
[tex]$N(x)=x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{2x^6}{3}+o(x^6)-x^2-\frac{x^4}{2}=-\frac{2x^6}{3}+o(x^6)$[/tex]
e concludi che per avere limiti finito non nullo dovrà essere [tex]$n=6$[/tex] e il limite varrà [tex]$\ell=-\frac{2}{3}$[/tex]
P.S.: trovo gli esercizi con Taylor in cui sono presenti somme o differenze di logaritmi un utile stimolo per la mente e per verificare se davvero si è capito qualcosa di analisi!
[tex]$\log(1+x+x^2)+\log(1-x+x^2)=\log[(1+x+x^2)(1-x+x^2)]=\log[(1+x^2)^2-x^2]=\log[1+2x^2+x^4-x^2]=\log(1+x^2+x^4)=$[/tex]
[tex]$=x^2+x^4-\frac{(x^2+x^4)^2}{2}+\frac{(x^2+x^4)^3}{3}+o(...)=x^2+x^4-\frac{x^4}{2}-x^6+\frac{x^6}{3}+o(x^6)$[/tex]
dove, facendo lo sviluppo, ho considerato che:
1) nel numeratore, le potenze "libere" sono presenti solo fino al quarto grado, per cui mi basta trovare il grado successivo a questo
2) ho evitato di calcolare qualsiasi potenza che venisse superiore al grado 6
Alla fine trovi per il numeratore
[tex]$N(x)=x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{2x^6}{3}+o(x^6)-x^2-\frac{x^4}{2}=-\frac{2x^6}{3}+o(x^6)$[/tex]
e concludi che per avere limiti finito non nullo dovrà essere [tex]$n=6$[/tex] e il limite varrà [tex]$\ell=-\frac{2}{3}$[/tex]
P.S.: trovo gli esercizi con Taylor in cui sono presenti somme o differenze di logaritmi un utile stimolo per la mente e per verificare se davvero si è capito qualcosa di analisi!
Mi sono accorto anche io che le semplificazioni che ho portato avanti non funzionano. Ora cerco di capire dove sono caduto in fallo. 
$log(1+x+x^2)+log(1-x+x^2)-x^2-1/2x^4$
Si vede che $log(1+x+x^2)+log(1-x+x^2) sim x^2 + 1/2 x^4 $ per $x -> 0$. Quindi l'ordine di infinitesimo del numeratore è $> 2$. Invece si vede che:
$log(1+x) + log(1-x) sim - x^2 - 1/2 x^4 $, quindi l'ordine di infinitesimo di $log(1+x) + log(1-x) - x^2 - 1/2 x^4$ è $= 2$.
In definitiva non vanno trascurati gli infinitesimi di ordine superiore negli argomenti dei logaritmi dal momento che così facendo si altera l'ordine del numeratore.
Grazie Ciampy.
Si vede che $log(1+x+x^2)+log(1-x+x^2) sim x^2 + 1/2 x^4 $ per $x -> 0$. Quindi l'ordine di infinitesimo del numeratore è $> 2$. Invece si vede che:
$log(1+x) + log(1-x) sim - x^2 - 1/2 x^4 $, quindi l'ordine di infinitesimo di $log(1+x) + log(1-x) - x^2 - 1/2 x^4$ è $= 2$.
In definitiva non vanno trascurati gli infinitesimi di ordine superiore negli argomenti dei logaritmi dal momento che così facendo si altera l'ordine del numeratore.
Grazie Ciampy.
Grazie mille clampax. In effetti sono stato stupido a non pensare a unire i due logaritmi, la vita si facilita alquanto e la soluzione è molto più pulita! Mille grazie!
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