Limite con parametro
Non saprei come risolvere questo limite al variare del parametro $ alpha in RR $
$ lim_(x->0^+) (xsqrt(1+x) -(x+2)sqrtx)/(x+sqrtx)^(alpha) $
Grazie in anticipo.
$ lim_(x->0^+) (xsqrt(1+x) -(x+2)sqrtx)/(x+sqrtx)^(alpha) $
Grazie in anticipo.
Risposte
io farei così: il denominatore è asintotico a $x^(alpha/2)$ in quanto $x$ è trascurabile rispetto a $sqrtx$
il numeratore invece, anche volendo sviluppare $sqrt(1+x)$ con Taylor, va come $-2sqrtx$ in quanto anche espandendo si ottengono potenze di x trascurabili rispetto a $sqrtx$. nel complesso la funzione va come $-2x^(1/2(1-alpha))$. si tratta ora di studiare cosa succede a questa per $x -> 0^(\text{+})$
il numeratore invece, anche volendo sviluppare $sqrt(1+x)$ con Taylor, va come $-2sqrtx$ in quanto anche espandendo si ottengono potenze di x trascurabili rispetto a $sqrtx$. nel complesso la funzione va come $-2x^(1/2(1-alpha))$. si tratta ora di studiare cosa succede a questa per $x -> 0^(\text{+})$
Se $\alpha<=0$ allora il limite e' zero, infatti
$$\lim_{x\to 0^{+}} \frac{x\sqrt{1+x}-(x+2)\sqrt{x}}{(x+\sqrt{x})^\alpha}=\lim_{x\to 0^{+}} (x\sqrt{1+x}-(x+2)\sqrt{x})(x+\sqrt{x})^\alpha $$
il quale e' zero perche' prodotto di termini che tendono a zero.
Sia invece $\alpha>0$.
Sfruttando la formula generalizzata del binomio di Newton $(1+a)^\alpha=1+\alpha a+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}a^2+ ...$ Si ha quindi che $(x+\sqrt{x})^\alpha=(\sqrt{x}(\sqrt{x}+1))^\alpha=x^{\alpha/2}(1+\sqrt{x})^{\alpha}=x^{\alpha/2}(1+\alphax^{1/2}+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x +o(x^2))$
Quindi per $x\to 0^{+}$ a denominatore abbiamo tutti termini infinitesimi di ordine superiore a $x^{\alpha/2}$ e si ha che $\sqrt{1+x}$ tende a $1$, per cui
$$\lim_{x\to 0^{+}} \frac{x\sqrt{1+x}-(x+2)\sqrt{x}}{(x+\sqrt{x})^\alpha}=\lim_{x\to 0^{+}} \frac{x-x^{3/2}-2x^{1/2}}{x^{\alpha/2}}$$
A numeratore invece predomina l'infinitesimo $x^{1/2}$, quindi in definitiva se $\alpha=1$ il limite e' finito e vale $-2$. Se $\alpha$ e' maggiore di $1$ il limite diverge, invece se $\alpha$ e' minore di $1$ il limite e' zero.
Magari una conferma mi farebbe piacere.
$$\lim_{x\to 0^{+}} \frac{x\sqrt{1+x}-(x+2)\sqrt{x}}{(x+\sqrt{x})^\alpha}=\lim_{x\to 0^{+}} (x\sqrt{1+x}-(x+2)\sqrt{x})(x+\sqrt{x})^\alpha $$
il quale e' zero perche' prodotto di termini che tendono a zero.
Sia invece $\alpha>0$.
Sfruttando la formula generalizzata del binomio di Newton $(1+a)^\alpha=1+\alpha a+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}a^2+ ...$ Si ha quindi che $(x+\sqrt{x})^\alpha=(\sqrt{x}(\sqrt{x}+1))^\alpha=x^{\alpha/2}(1+\sqrt{x})^{\alpha}=x^{\alpha/2}(1+\alphax^{1/2}+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x +o(x^2))$
Quindi per $x\to 0^{+}$ a denominatore abbiamo tutti termini infinitesimi di ordine superiore a $x^{\alpha/2}$ e si ha che $\sqrt{1+x}$ tende a $1$, per cui
$$\lim_{x\to 0^{+}} \frac{x\sqrt{1+x}-(x+2)\sqrt{x}}{(x+\sqrt{x})^\alpha}=\lim_{x\to 0^{+}} \frac{x-x^{3/2}-2x^{1/2}}{x^{\alpha/2}}$$
A numeratore invece predomina l'infinitesimo $x^{1/2}$, quindi in definitiva se $\alpha=1$ il limite e' finito e vale $-2$. Se $\alpha$ e' maggiore di $1$ il limite diverge, invece se $\alpha$ e' minore di $1$ il limite e' zero.
Magari una conferma mi farebbe piacere.
"arnett":
[quote="gmorkk"]
A numeratore invece predomina l'infinitesimo $x^{3/2}$, quindi in definitiva se $\alpha=3$ il limite e' finito e vale $-1$. Se $\alpha$ e' maggiore di $3$ il limite diverge, invece se $\alpha$ e' minore di $3$ il limite e' zero.
Magari una conferma mi farebbe piacere.
Questo procedimento è scorretto. Se $x \to 0$ al numeratore predomina $-2x^(1/2)$, come giustamente dice @cooper, non $x^{3/2}$ (non siamo in un intorno di più infinito). La conclusioni sono di conseguenza errate; il valore di $a$ che discrimina il comportamento del limite è 1, non 3.[/quote]
Cavoli, erroraccio di distrazione. Non me ne ero accorto. Ora sistemo il post sopra.
Grazie mille a tutti
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