Limite con parametro

[stagnomaur]

Calcolare $\lim_{n \to \infty} ((x^2 - x)/ (ax^2 + 1))^x$ al variare del parametro $a>0$

Io ho calcolato il limite per $a>1$ e ho ottenuto che il limite è uguale a zero; poi ho calcolato il limite per $0

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Risposte

Seneca1

18 apr 2017, 08:31

"Matte":Calcolare $\lim_{n \to \infty} ((x^2 - x)/ (ax^2 + 1))^x$ al variare del parametro $a>0$

Io ho calcolato il limite per $a>1$ e ho ottenuto che il limite è uguale a zero; poi ho calcolato il limite per $0
$\lim_{x \to \infty} ((x^2 + 1 - 1 - x)/ (x^2 + 1))^x = \lim_{x \to \infty} (1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^x = \lim_{x \to \infty} (1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^{x (-1 - x)/ (x^2 + 1)* (x^2 + 1)/ (-1-x)} = \lim_{x \to \infty} [(1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^{(x^2 + 1)/ (-1-x)} ]^{(-x^2 - x)/ (x^2 + 1)} $

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pilloeffe

18 apr 2017, 08:49

Ciao Matte,

occhio che hai scritto $n \to infty$ invece di $x \to infty$...

Seguendo le corrette indicazioni che ti ha già dato Seneca, in definitiva dovresti trovare il risultato seguente:

$\lim_{x \to \infty} (frac{x^2 - x}{ax^2 + 1})^x = {(+\infty, text{se } 0 < a < 1),(frac{1}{e},text{se } a = 1), (0, text{se } a > 1):}$

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stagnomaur

18 apr 2017, 09:42

"Seneca":[quote="Matte"]Calcolare $\lim_{n \to \infty} ((x^2 - x)/ (ax^2 + 1))^x$ al variare del parametro $a>0$

Io ho calcolato il limite per $a>1$ e ho ottenuto che il limite è uguale a zero; poi ho calcolato il limite per $0
$\lim_{x \to \infty} ((x^2 + 1 - 1 - x)/ (x^2 + 1))^x = \lim_{x \to \infty} (1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^x = \lim_{x \to \infty} (1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^{x (-1 - x)/ (x^2 + 1)* (x^2 + 1)/ (-1-x)} = \lim_{x \to \infty} [(1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^{(x^2 + 1)/ (-1-x)} ]^{(-x^2 - x)/ (x^2 + 1)} $[/quote]

Volevo soltanto una conferma perchè ho provato a capire il ragionamento che c'è sotto. In poche parole: $\lim_{x \to \infty} [(1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^{(x^2 + 1)/ (-1-x)} ]^{(-x^2 - x)/ (x^2 + 1)} $

se noi chiamiamo $f(x) = (-1 - x)/ (x^2 + 1)$, abbiamo moltiplicato sia sopra e sia sotto per $f(x)$, ottenendo cosi: $\lim_{x \to \infty}[(1 + f(x))^(1/f(x))]^(f(x) * x)$

$(1 + f(x))^(1/f(x))$ questo è esattamente un limite notevole, di conseguenza fa $e$, invece $f(x) * x$ con i dovuti calcoli fa -1, quindi di conseguenza il limite è uguale a $1/e$

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stagnomaur

18 apr 2017, 09:46

"pilloeffe":Ciao Matte,

occhio che hai scritto $n \to infty$ invece di $x \to infty$...

Seguendo le corrette indicazioni che ti ha già dato Seneca, in definitiva dovresti trovare il risultato seguente:

$\lim_{x \to \infty} (frac{x^2 - x}{ax^2 + 1})^x = {(+\infty, text{se } 0 < a < 1),(frac{1}{e},text{se } a = 1), (0, text{se } a > 1):}$

sisi grazie, mi ero confuso a scrivere

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Seneca1

18 apr 2017, 12:08

Quanto scrivi è corretto. Osserva che sotto, invocato in modo trasparente, c'è il teorema sul limite di funzioni composte.

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stagnomaur

18 apr 2017, 13:27

okay grazie mille!!

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[Seneca1]

"Matte":Calcolare $\lim_{n \to \infty} ((x^2 - x)/ (ax^2 + 1))^x$ al variare del parametro $a>0$

Io ho calcolato il limite per $a>1$ e ho ottenuto che il limite è uguale a zero; poi ho calcolato il limite per $0
$\lim_{x \to \infty} ((x^2 + 1 - 1 - x)/ (x^2 + 1))^x = \lim_{x \to \infty} (1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^x = \lim_{x \to \infty} (1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^{x (-1 - x)/ (x^2 + 1)* (x^2 + 1)/ (-1-x)} = \lim_{x \to \infty} [(1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^{(x^2 + 1)/ (-1-x)} ]^{(-x^2 - x)/ (x^2 + 1)} $

[pilloeffe]

Ciao Matte,

occhio che hai scritto $n \to infty$ invece di $x \to infty$...

Seguendo le corrette indicazioni che ti ha già dato Seneca, in definitiva dovresti trovare il risultato seguente:

$\lim_{x \to \infty} (frac{x^2 - x}{ax^2 + 1})^x = {(+\infty, text{se } 0 < a < 1),(frac{1}{e},text{se } a = 1), (0, text{se } a > 1):}$

[stagnomaur]

"Seneca":[quote="Matte"]Calcolare $\lim_{n \to \infty} ((x^2 - x)/ (ax^2 + 1))^x$ al variare del parametro $a>0$

Io ho calcolato il limite per $a>1$ e ho ottenuto che il limite è uguale a zero; poi ho calcolato il limite per $0
$\lim_{x \to \infty} ((x^2 + 1 - 1 - x)/ (x^2 + 1))^x = \lim_{x \to \infty} (1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^x = \lim_{x \to \infty} (1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^{x (-1 - x)/ (x^2 + 1)* (x^2 + 1)/ (-1-x)} = \lim_{x \to \infty} [(1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^{(x^2 + 1)/ (-1-x)} ]^{(-x^2 - x)/ (x^2 + 1)} $[/quote]

Volevo soltanto una conferma perchè ho provato a capire il ragionamento che c'è sotto. In poche parole: $\lim_{x \to \infty} [(1+ (-1 - x)/ (x^2 + 1))^{(x^2 + 1)/ (-1-x)} ]^{(-x^2 - x)/ (x^2 + 1)} $

se noi chiamiamo $f(x) = (-1 - x)/ (x^2 + 1)$, abbiamo moltiplicato sia sopra e sia sotto per $f(x)$, ottenendo cosi: $\lim_{x \to \infty}[(1 + f(x))^(1/f(x))]^(f(x) * x)$

$(1 + f(x))^(1/f(x))$ questo è esattamente un limite notevole, di conseguenza fa $e$, invece $f(x) * x$ con i dovuti calcoli fa -1, quindi di conseguenza il limite è uguale a $1/e$

[stagnomaur]

"pilloeffe":Ciao Matte,

occhio che hai scritto $n \to infty$ invece di $x \to infty$...

Seguendo le corrette indicazioni che ti ha già dato Seneca, in definitiva dovresti trovare il risultato seguente:

$\lim_{x \to \infty} (frac{x^2 - x}{ax^2 + 1})^x = {(+\infty, text{se } 0 < a < 1),(frac{1}{e},text{se } a = 1), (0, text{se } a > 1):}$

sisi grazie, mi ero confuso a scrivere

[Seneca1]

Quanto scrivi è corretto. Osserva che sotto, invocato in modo trasparente, c'è il teorema sul limite di funzioni composte.

[stagnomaur]

okay grazie mille!!