Limite con parametro?

[Fab996]

Calcolare il seguente limite al variare di $p$ $lim(x->∞) [((x^(p)+2)^(1/p))-x]$, non riesco a capire un passaggio che fa il libro; riscrive il limite in questo modo $lim(x->∞) (((1+(2/x^(p))^(1/p)-1))/(1/x))$ ovviamente viene riscritto in questo modo per ottenere la forma indeterminata $0/0$ e applicare De L'Hospital; i passaggi dopo che applica il teorema e studia il parametro mi sono chiari; solo non capisco perchè il limite riscritto dovrebbe dare la forma indeterminata $0/0$; non si dovrebbe anche qui studiare il parametro per vedere cosa succede al limite? (cosa che il libro non fa)

[raff5184]

"Fab996":non capisco perchè il limite riscritto dovrebbe dare la forma indeterminata $0/0$; non si dovrebbe anche qui studiare il parametro per vedere cosa succede al limite? (cosa che il libro non fa)

Infatti, se provi i vari casi di $p$ hai varie forme indeterminate che spariscono usando de l'H.

[Fab996]

"raff5184":[quote="Fab996"]non capisco perchè il limite riscritto dovrebbe dare la forma indeterminata $0/0$; non si dovrebbe anche qui studiare il parametro per vedere cosa succede al limite? (cosa che il libro non fa)

Infatti, se provi i vari casi di $p$ hai varie forme indeterminate che spariscono usando de l'H.[/quote]

Mh penso di aver capito, ti posso solo chiedere una cosa a livello di calcoli?:)

[raff5184]

vai!

[Fab996]

"raff5184":vai!

Se $lim(x→∞)[((x^(p)+2)^(1/p))−x]$ come fa a passare a $lim(x→∞)x[(1+(2/(x^(p))))^(1/p)−1]$ ? Ho capito che raccoglie la $x$, ma come fa a venire dentro la parentesi tonda più interna $(1+(2/(x^(p))))^(1/p)$ ?

[raff5184]

"Fab996": come fa a venire dentro la parentesi tonda più interna $(1+(2/(x^(p))))^(1/p)$ ?

Metti in evidenza $x^p$

$(x^p(x^p/x^p + 2/x^p))^(1/p)$
$(x^p)^(1/p)(1+2/(x^(p)))^(1/p) =x(1+2/(x^(p)))^(1/p) $

Capito?

[Fab996]

"raff5184":[quote="Fab996"] come fa a venire dentro la parentesi tonda più interna $(1+(2/(x^(p))))^(1/p)$ ?

Metti in evidenza $x^p$

$(x^p(x^p/x^p + 2/x^p))^(1/p)$
$(x^p)^(1/p)(1+2/(x^(p)))^(1/p) =x(1+2/(x^(p)))^(1/p) $

Capito?[/quote]

Si ho capito, grazie mille!