Limite con parametri
$\lim (\log^p n)/(n^(q))$
TENTATA RISOLUZIONE
Caso $p<=q$
$\lim (\log n \log n..."p volte " \log n\log n)/(n n..."q volte ")
Essendo $p<=q$, usando il limite notevole $(\log n)/n\to 0$ otteniamo che il limite vale zero.
Il problema sta nel
Caso $p>q$
$\lim (\log^p n)/(n^(q))=\lim (\log^p n \log^(p-q) n)/(n^q)$.
Ottengo al più una forma indeterminata del tipo 0 per infinito.
Suggerimenti?
TENTATA RISOLUZIONE
Caso $p<=q$
$\lim (\log n \log n..."p volte " \log n\log n)/(n n..."q volte ")
Essendo $p<=q$, usando il limite notevole $(\log n)/n\to 0$ otteniamo che il limite vale zero.
Il problema sta nel
Caso $p>q$
$\lim (\log^p n)/(n^(q))=\lim (\log^p n \log^(p-q) n)/(n^q)$.
Ottengo al più una forma indeterminata del tipo 0 per infinito.
Suggerimenti?
Risposte
Perché non analizzi i casi con De L'Hopital?
Paola
Paola
Perchè non sono ancora arrivato alle derivate...vorrei riuscire a manipolare questo tipo di espressioni senza usare de l'hopital per adesso, per quanto è possibile
uP
un modo potrebbe essere il seguente, utilizza il limite notevole $lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)}{n}=0$. Da ciò si ha a gratis che, fissato [tex]\alpha>0[/tex]:
[tex]$(1)\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)}{n^\alpha}=0[/tex].
Basta ricordare che [tex]\log(n)= \frac{1}{\alpha} \log(n^\alpha)[/tex]
Dal limite [tex](1)[/tex] segue che [tex]\forall\varepsilon>0[/tex] esiste un indice [tex]\tilde{n}\in\mathbb{N}[/tex] tale che [tex]\forall n\in\mathbb{N}[/tex] con [tex]n>\tilde{n}[/tex] si ha [tex]\left|\frac{\log(n)}{n^\alpha}\right|<\varepsilon\implies \log(n)<\varepsilon n^\alpha[/tex].
Se prendi [tex]\varepsilon=1[/tex] troviamo un indice [tex]\tilde{n}[/tex] dopo del quale [tex]\log(n)
[tex]$ \frac{\log^p(n)}{n^q}< \frac{n^{p\alpha}}{n^q}= n^{p\alpha-q}[/tex]. Possiamo prendere [tex]0<\alpha<\frac{q}{p}[/tex] di modo che [tex]\frac{\log^p(n)}{n^q}[/tex] sia definitivamente maggiorata da una successione infinitesima, e per il criterio del confronto [tex]$\lim_{n\to\infty}\frac{\log^p(n)}{n^q}=0[/tex] per [tex]p,q>0[/tex].
[tex]$(1)\qquad\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)}{n^\alpha}=0[/tex].
Basta ricordare che [tex]\log(n)= \frac{1}{\alpha} \log(n^\alpha)[/tex]
Dal limite [tex](1)[/tex] segue che [tex]\forall\varepsilon>0[/tex] esiste un indice [tex]\tilde{n}\in\mathbb{N}[/tex] tale che [tex]\forall n\in\mathbb{N}[/tex] con [tex]n>\tilde{n}[/tex] si ha [tex]\left|\frac{\log(n)}{n^\alpha}\right|<\varepsilon\implies \log(n)<\varepsilon n^\alpha[/tex].
Se prendi [tex]\varepsilon=1[/tex] troviamo un indice [tex]\tilde{n}[/tex] dopo del quale [tex]\log(n)
[tex]$ \frac{\log^p(n)}{n^q}< \frac{n^{p\alpha}}{n^q}= n^{p\alpha-q}[/tex]. Possiamo prendere [tex]0<\alpha<\frac{q}{p}[/tex] di modo che [tex]\frac{\log^p(n)}{n^q}[/tex] sia definitivamente maggiorata da una successione infinitesima, e per il criterio del confronto [tex]$\lim_{n\to\infty}\frac{\log^p(n)}{n^q}=0[/tex] per [tex]p,q>0[/tex].
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