Limite con parametri

[Rebb10]

Sto avendo un po di difficoltà con il seguente esercizio. Stabilire per quali valori dei parametri a e b il limite esiste finito.
$lim_(x->0) x^(−6)(cos(2x)−(1+ax^2)/(1+bx^2))$

Sviluppo il coseno fino al sesto ordine? O fino all'ottavo? $[x^(−6)(1/(1+bx^2))=1/(x^6+bx^8)]$

[Bokonon]

Non so se ho fatto i conti giusti (ricontrollali). Riflettendoci su, non è possibile avere un limite finito se, dopo aver sviluppato $cos(2x)$, non si eliminano tutti i termini lasciando al numeratore qualcosa come $kx^6$.

Quindi ho provato così: ho sviluppato il numeratore usando Taylor per ottenere un termine massimo $x^6$:
$(1+bx^2)cos(2x)-1-ax^2=(1+bx^2)(1-2x^2+2/3x^4)-1-ax^2=1-2x^2+2/3x^4+bx^2-2bx^4+2/3bx^6-1-ax^2$

Il termine noto si semplifica. Il termine con $x^4$ si semplifica solo per $b=1/3$, quindi diventa:
$-2x^2+1/3x^2+2/9x^6-ax^2=-5/3x^2-ax^2+2/9x^6$

Per $a=-5/3$ si semplifica anche il termine $x^2$ quindi alla fine resta:

$lim_(x->0) (2/9x^6)/(x^6(1+1/3x^2))= 2/9$

[Bokonon]

Uff, ho provato a sostituire i valori e a calcolare il limite con Wolfram. Converge ma a $2/15$.
In effetti l'approssimazione deve arrivare a $o(x^6)$ quindi lo sviluppo del numeratore corretto è questo:
$(1+bx^2)(1-2x^2+2/3x^4-4/45x^6)-1-ax^2$
I valori sono ancora $a=-5/3$ e $b=1/3$ e alla fine il numeratore si semplifica in $2/15x^6-4/135x^8$
Quindi il limite diventa: $lim_(x->0) ((2/15-4/135x^2)x^6)/(x^6(1+1/3x^2))= 2/15$

Adesso è tutto corretto.

[Rebb10]

tutto chiarissimo, grazie