Limite con o-piccolo

[Alpha011]

$ \lim_{x \to \infty} (sqrt(1-3^(-x))-sqrt(1-2^(-x)))/((sqrt(1-4^(-x))-1) $
Ciao ragazzi mi aiutate a dimostrare che il seguente limite è meno infinito? La mia idea era questa:
Al denominatore avrò $(-4^(-x))/2 $ perché localmente equivalenti al numeratore invece potrei aggiungere e sottrarre uno in modo da ottenere $ (1+x)^a-1 $ che per x che tende a zero fa ax. Ma non riesco a eliminare la forma indeterminata

[Bremen000]

Sapendo che per $x \to 0$

$$(1+x)^{\alpha} -1 \sim \alpha x \quad \Leftrightarrow \quad (1+x)^{\alpha} \sim 1+ \alpha x$$

puoi scrivere

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1-3^{-x}}-\sqrt{1-2^{-x}}}{\sqrt{1-4^{-x}}-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{(1-1/2 3^{-x})-(1-1/2 2^{-x})}{(1-1/2 4^{-x})-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3^{-x} + 2^{-x}}{-4^{-x}} =$

$ \lim_{x \to \infty} (\frac{2}{4})^{-x} = +\infty$

[Alpha011]

L'ultimo passaggio deriva dal fatto che $ 2^(-x)$ è trascurabile? Grazie mille

[Bremen000]

Perdonami, è proprio il contrario, $3^{-x}$ va a zero più velocemente di $2^{-x}$ e va dunque trascurato, ho corretto la risposta!

[Alpha011]

Scusa ancora ma il testo del libro dice di verificare che il limite è meno infinito.

[Bremen000]

Perdonami, devo fare più attenzione; come si vede nel mio ultimo passaggio ho perso un $-$;

Dunque alla fine si arriva a $\lim_{x \to \infty} \frac{-3^{-x}+2^{-x}}{-4^{-x}}$ e siccome $3^{-x}$ va a zero più velocemente di $2^{-x}$ si trascura il primo e si ottiene $\lim_{x \to \infty} -\frac{2^{-x}}{4^{-x}} = \lim_{x \to \infty} -(\frac{1}{2})^{-x} = -\infty$