Limite con \( O \)-grande di \( 1/n^2 \)

[marco2132k]

Siano \( a_1,a_2\in \mathbb R \). Sia \( x_n = \sqrt{n+ a_1}\sqrt{n + a_2} \), per \( n\in \mathbb N \). Perché
\[
x_n = 1 + \frac{a_1 + a_2}{2n} + O\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\text{?} \tag{1}
\]
Quello so dire è che
\[
\sqrt{1 + \frac{a_i}{n}} = 1 + \frac{a_i}{2n} + o\Bigl(\frac1n\Bigl)
\] e quindi che
\[
\sqrt{1 + \frac{a_i}{n}} = 1 + \frac{a_i}{2n} + O\Bigl(\frac1n\Bigl)
\] per \( i = 1,2 \). Adesso ho quindi
\[
x_n = n^2\Bigl(1 + \frac{a_1}{2n} + O\Bigl(\frac1n\Bigl)\Bigr)\Bigl(1 + \frac{a_2}{2n} + O\Bigl(\frac1n\Bigl)\Bigr)
\] ma devo fare tutto il conto o c'è un modo più veloce per vedere \( (1) \)?

Adesso, usando esattamente quanto fatto fin'ora, come si calcola
\[
\lim_{n\to \infty}{n - x_n}\text{?}
\] Perché è ovvio che non si riesce a dire niente da
\[
n - x_n = n\Bigl(1 - n\sqrt{1 + \frac{a_1}{n}}\sqrt{1 + \frac{a_2}{n}}\Bigr)
\] e serve usare Taylor. Ma probabilmente canno i conti, perché non mi viene (è ovvio che deve fare \( -\frac{a + b}{2} \), no?)

P.S. Si può usare il solito trick \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) per calcolare \( \lim_{n\to \infty}n - x_n \), ma voglio capire come si usa \( O \).

[Studente Anonimo]

Se può essere utile:

$x_n=nsqrt(1+(a_1+a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)=n[1+(a_1+a_2)/(2n)+O(1/n^2)]=n+(a_1+a_2)/2+O(1/n) rarr$

$rarr lim_(n->+oo)n-x_n=lim_(n->+oo)-(a_1+a_2)/2+O(1/n)=-(a_1+a_2)/2$

[marco2132k]

Grazie! Ho capito perché
\[
\sqrt{n + a_1}\sqrt{n + a_2} = \sqrt{1 + \frac{a_1 + a_2}{n} + \frac{ab}{n^2}}
\] ma non ho capito come hai fatto da qui a dire che
\[
\sqrt{1 + \frac{a_1 + a_2}{n} + \frac{ab}{n^2}} = 1 + \frac{a_1 + a_2}{2n} + {\color{red}O}\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)\text{.}
\]
Tutto il resto invece mi è chiaro: se ho capito bene, il motivo per cui posso dire che
\[
\lim_{n\to \infty}{-\frac{a_1 + a_2}{2n} + O\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)} = -\frac{a_1 + a_2}{2}
\] è che affermare che
\[
f(n) = -\frac{a_1 + a_2}{2} + O\Bigl(\frac{1}{n^2}\Bigr)
\] significa affermare che
\[
\left\lvert f(n) + \frac{a_1 + a_2}{2}\right\rvert \leqq K\left\lvert\frac{1}{n^2}\right\rvert
\] per qualche \( K > 0 \), e quindi che
\[
0\leqq \lim_{n\to \infty}{\left\lvert f(n) + \frac{a_1 + a_2}{2}\right\rvert} \leqq \lim_{n\to \infty}{K\left\lvert\frac{1}{n^2}\right\rvert} = 0\text{,}
\] è corretto?

[ghira1]

"marco2132k":
Quello so dire è che
\[
\sqrt{1 + \frac{a_i}{n}} = 1 + \frac{a_i}{2n} + o\Bigl(\frac1n\Bigl)
\] e quindi che
\[
\sqrt{1 + \frac{a_i}{n}} = 1 + \frac{a_i}{2n} + O\Bigl(\frac1n\Bigl)
\] per \( i = 1,2 \)

Ma stiamo parlando di $o$, $O$ o entrambe le cose?

[Studente Anonimo]

"marco2132k":

$sqrt(n+a_1)sqrt(n+a_2)=sqrt(1+(a_1 + a_2)/n+(ab)/n^2)$

Probabilmente intendevi:

$sqrt(n+a_1)sqrt(n+a_2)=nsqrt(1+(a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)$

In particolare, ti sei perso il fattore n davanti alla radice.

"marco2132k":
... ma non ho capito come hai fatto ...

Poiché, quando $x rarr 0$:

$sqrt(1+x)=1+1/2x-1/8x^2+O(x^3)$

nel tuo caso:

$x=(a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2$

e quindi:

$sqrt(1+(a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)=$

$=1+1/2((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)-1/8((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)^2+O((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)^3=$

$=1+(a_1 + a_2)/(2n)+O(1/n^2)$

Dando per scontato che tu abbia sufficiente dimestichezza con gli infinitesimi, ho saltato alcuni passaggi.

"marco2132k":
... è corretto?

Anche troppo formale. Se non ti perdi il fattore n davanti alla radice, basta ricordare che:

$lim_(n->+oo)n*O(1/n^2)=lim_(n->+oo)O(1/n)=0$

[marco2132k]

"ghira":[quote="marco2132k"]
Quello so dire è che
\[ \sqrt{1 + \frac{a_i}{n}} = 1 + \frac{a_i}{2n} + o\Bigl(\frac1n\Bigl) \] e quindi che
\[ \sqrt{1 + \frac{a_i}{n}} = 1 + \frac{a_i}{2n} + O\Bigl(\frac1n\Bigl) \] per \( i = 1,2 \)

Ma stiamo parlando di $ o $, $ O $ o entrambe le cose?[/quote] Se \( f \) è \( o \)-piccolo di \( g \), allora è anche \( O \)-grande di \( g \). La prima relazione è Taylor, la seconda viene da questo fatto qua.

"anonymous_0b37e9":dimestichezza con gli infinitesimi

Finora avevo capito un po' come si usava il confronto asintotico forte (\( o \), \( \sim \)). Poi, siccome ogni tanto vedo che la gente usa anche la \( O \)-grande, volevo provare un attimo a fare le cose con quella notazione.

@anonymous_0b37e9 Quello che non mi è del tutto chiaro è perché si scrive
\[
\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)\quad\text{ma}\quad \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + {\color{red}O}(x^{\color{red}3})\text{.}
\] La prima delle due è Taylor col resto di Peano (che è il metodo che uso di solito per fare queste cose), la seconda credo che tu l'abbia ricavata dalla prima, ma non so come (e non mi so spiegare la potenza \( 3 \) invece che \( 2 \)). In generale non ho ancora capito bene quando sia comoda una o quando sia meglio usare l'altra.

"anonymous_0b37e9":

$ sqrt(1+(a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)= $

$ =1+1/2((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)-1/8((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)^2+O((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)^3= $

$ =1+(a_1 + a_2)/(2n)+O(1/n^2) $

Ecco, a scrivere
\[
\sqrt{1 + \frac{a_1 + a_2}{n} + \frac{a_1a_2}{n^2}} = a + \frac12\Bigl(\frac{a_1 + a_2}{n} + \frac{a_1a_2}{n^2}\Bigr) - \frac18 \Bigl(\frac{a_1 + a_2}{n} + \frac{a_1a_2}{n^2}\Bigr) + {\color{red}o}\Bigl(\frac{a_1 + a_2}{n} + \frac{a_1a_2}{n^2}\Bigr)
\] si cono riuscito anch'io (è semplicemente Taylor con cambio di variabile, come ho scritto prima), ma non capisco come tu faccia a dire che da

"anonymous_0b37e9":

$ =1+1/2((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)-1/8((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)^2+O((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)^3= $

si arriva a

$ =1+(a_1 + a_2)/(2n)+O(1/n^2) $

Se capisco questo, ho finito perché tutto il resto mi è chiaro in teoria.

[Studente Anonimo]

"marco2132k":
Se $f=o(g)$ allora è anche $O(g)$ ...

Purtroppo no. Per esempio, quando $n rarr +oo$:

$1/n^2=o(1/n)$

Tuttavia, non è vero che:

$1/n^2=O(1/n)$

In parole povere:

f è o(g) quando f tende a zero "più velocemente" di g:

$[lim_(n->+oo)f(n)/g(n)=0] vv [lim_(n->+oo)g(n)/f(n)=oo]$

f è O(g) quando f tende a zero "come" g:

$[lim_(n->+oo)f(n)/g(n)=l ne 0] vv [lim_(n->+oo)g(n)/f(n)=1/l]$

Prima di tutto, è indispensabile chiarire questi concetti. Io preferisco usare O piuttosto che o. Per il semplice fatto che ho più informazioni. Per esempio:

$f(n)=O(1/n)$

so che f(n) tende a a zero come $1/n$;

$f(n)=o(1/n)$

so che f(n) tende a zero più velocemente di $1/n$. Quindi, potrebbe benissimo essere:

$f(n)=1/n^2 vv f(n)=1/n^3$

e via discorrendo.

[marco2132k]

Aspetta, ma non è che stiamo usando definizioni diverse? Se \( f \) e \( g \) sono due funzioni definite in tutti i punti di un intorno di un punto \( x_0\in \overline{\mathbb R} \) meno che eventualmente in \( x_0 \), e \( g(x)\neq 0 \) per tutti i punti \( x \) di questo intorno, io dico che

[*:j61l2gdb] \( f = o(g) \) se \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 \) ;[/*:m:j61l2gdb]
[*:j61l2gdb] \(f\sim g \) se \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1 \) oppure se \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lambda \), per qualche \( \lambda\neq 0 \);[/*:m:j61l2gdb]
[*:j61l2gdb] \( f = O(g) \) se esiste una costante \( K > 0 \) tale che \( \lvert f(x)\rvert\leqq K\lvert g(x)\rvert \).[/*:m:j61l2gdb][/list:u:j61l2gdb]

Adesso è ovvio che se \( f = o(g) \) allora esiste una costante \( K \) tale che \( \lvert f(x)\rvert\leqq K\lvert g(x)\rvert \), mentre non è vero che se \( f = O(g) \) allora vale uno degli altri due punti. Se, invece, interpreto "\( f = O(g) \)" come dici tu allora no, hai perfettamente ragione.

P.S. Tutto ciò vale anche nel caso delle successioni ovviamente. Per pedanteria si potrebbero definire \( f \) e \( g \) su uno spazio topologico arbitrario che ha \( x_0 \) come punto non isolato; non cambierebbe nulla appunto.

[Studente Anonimo]

"marco2132k":
... ma non è che stiamo usando definizioni diverse?

Direi proprio di sì. Io ho sempre utilizzato O e o come ti ho scritto sopra. A questo punto, chiarito il malinteso, immagino che tu non abbia delle difficoltà nel derivare il risultato almeno con le mie notazioni.

[marco2132k]

Ti chiedo: usare \( O \) in quel modo è tipico di qualche disciplina? (Lo fanno i fisici/la gente che fa meccanica dei fluidi per caso?) Perché ad esempio questo secondo te come va interpretato?

Provo a fare i conti allora (uso le tue notazioni). Dici che
\[
\sqrt{1 + x} = 1 + \frac12 x - \frac 18 x^2 + O(x^3)
\] intendendo che
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1 + x} - (1+ \frac12 x - \frac 18 x^2)}{x^3} = \lambda\neq 0\text{,}
\] giusto? Ora, sviluppo con Taylor \( \sqrt{1 + x} \) ottenendo che \( \sqrt{1 + x} = 1+ \frac12 x - \frac 18 x^2 + \frac{1}{16}x^3 + o(x^3) \), e sostituisco:
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1 + x} - (1+ \frac12 x - \frac 18 x^2)}{x^3} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{16}x^3 + o(x^3)}{x^3}\neq 0\text{.}
\] Quindi questo è verificato[1]. Adesso devo far vedere che

"anonymous_0b37e9":

$ sqrt(1+(a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)= $

$ =1+1/2((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)-1/8((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)^2+O((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)^3= $

$ =1+(a_1 + a_2)/(2n)+O(1/n^2) $

ma mi sa che non so farlo. Suggerimento?

(Comunque grazie per la pazienza!)

[1] Da quanto ho capito posso dire in generale che per un \( \alpha\in \mathbb R \) vale
\[
(1 + x)^\alpha = \sum_{k = 0}^n\binom{\alpha}{k}x^k + O(x^{n + 1})\text{,}
\] e questo perché da Taylor ho
\[
(1 + x)^\alpha = \sum_{k = 0}^n\binom{\alpha}{k}x^k + o(x^n)\text{,}
\] e quindi
\[
\lim_{x\to 0}\frac{(1 + x)^\alpha - \sum_{k = 0}^n\binom{\alpha}{k}x^k}{x^{k + 1}} = \lim_{x\to 0}\frac{\binom{\alpha}{n + 1}x^{n + 1} + o(x^{n + 1})}{x^{k + 1}} = \binom{\alpha}{n + 1}
\] e il coefficienti binomiali generalizzati non sono mai nulli. (Questo me lo scrivo come appunto per me, non centra nulla con tutto il resto...)

[Studente Anonimo]

"marco2132k":
... come va interpretato?

In che senso? Ha sviluppato le due radici separatamente utilizzando la notazione O come la userei io.

"marco2132k":
Provo a fare i conti ...

Non capisco perché tu senta la necessità di dimostrare:

$sqrt(1+x)=1+1/2x-1/8x^2+O(x^3)$

invece di prenderlo per buono. A questo punto, non vorrei che il problema consistesse nella distinzione tra il resto di Peano e il resto di Lagrange.

"marco2132k":
Suggerimento?

$sqrt(1+(a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)=$

$=1+1/2((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)-1/8((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)^2+O((a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)^3=$

$=1+(a_1 + a_2)/(2n)+(a_1a_2)/(2n^2)-(a_1 + a_2)^2/(8n^2)-(a_1a_2(a_1 + a_2))/(4n^3)-(a_1^2a_2^2)/(8n^4)+$

$+O[(a_1 + a_2)^3/n^3+(3a_1a_2(a_1+a_2)^2)/n^4+(3a_1^2a_2^2(a_1 + a_2))/n^5+(a_1^3a_2^3)/n^6]$

Poiché:

$O[(a_1 + a_2)^3/n^3+(3a_1a_2(a_1+a_2)^2)/n^4+(3a_1^2a_2^2(a_1 + a_2))/n^5+(a_1^3a_2^3)/n^6]=O(1/n^3)$

$(a_1a_2)/(2n^2)-(a_1 + a_2)^2/(8n^2)-(a_1a_2(a_1 + a_2))/(4n^3)-(a_1^2a_2^2)/(8n^4)+O(1/n^3)=O(1/n^2)$

finalmente:

$sqrt(1+(a_1 + a_2)/n+(a_1a_2)/n^2)=1+(a_1 + a_2)/(2n)+O(1/n^2)$

"marco2132k":
Da quanto ho capito ...

Mi limito alle stesse osservazioni precedenti sul resto di Peano e il resto di Lagrange.

P.S.

"marco2132k":

[*:3gbmz64m] \( f = o(g) \) se \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 \) ;[/*:m:3gbmz64m]
[*:3gbmz64m] \(f\sim g \) se \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1 \) oppure se \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lambda \), per qualche \( \lambda\neq 0 \);[/*:m:3gbmz64m]
[*:3gbmz64m] \( f = O(g) \) se esiste una costante \( K > 0 \) tale che \( \lvert f(x)\rvert\leqq K\lvert g(x)\rvert \).[/*:m:3gbmz64m][/list:u:3gbmz64m]

Su due piedi, mi sembra che la terza definizione sia stata introdotta per contemplare un qualche caso patologico. Per esempio, nel caso in cui almeno una delle due funzioni non ammetta limite. Voglio dire, se f e g sono infinitesime, tendono a zero per intenderci, le prime due definizioni dovrebbero implicare la terza rendendola inutile. Insomma, mi sembra una inutile complicazione. Soprattutto perché, rari ed eventuali casi patologici che necessitino di maggiorazioni esplicite, richiedono competenze essenzialmente superiori.

[marco2132k]

Sono qui, scusa il ritardo ma ho avuto da fare.

"anonymous_0b37e9":
Non capisco perché tu senta la necessità di dimostrare:

$ sqrt(1+x)=1+1/2x-1/8x^2+O(x^3) $

invece di prenderlo per buono. A questo punto, non vorrei che il problema consistesse nella distinzione tra il resto di Peano e il resto di Lagrange.

No purtroppo se prima non dimostro io una cosa non riesco a usarla, è proprio un blocco mentale mio.

Comunque hai ragione: il problema, se c'era, riguardava la differenza tra resto di Peano e resto di Lagrange nello sviluppo di Taylor. Se scrivo \( (1 + x)^\alpha \) con il resto di Lagrange mi viene proprio fuori che
\[
(1 + x)^\alpha = \sum_{k = 0}^n \binom{\alpha}{k}x^k + Cx^{n + 1}
\] dove \( C \) è un'opportuna costante \( \neq 0 \). Allora la formula che hai scritto tu per tutti questi post è ovvia.

Ciò detto, ti ringrazio molto per i conti (non avevo sviluppato il cubo dentro l'\( O \), per pigrizia; se lo facevo mi veniva, credo). Quindi fatto, direi. Grazie ancora!

"anonymous_0b37e9":P.S.
[quote="marco2132k"]

[*:3nnkz4tx] \( f = o(g) \) se \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 \) ;[/*:m:3nnkz4tx]
[*:3nnkz4tx] \( f\sim g \) se \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1 \) oppure se \( \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lambda \), per qualche \( \lambda\neq 0 \);[/*:m:3nnkz4tx]
[*:3nnkz4tx] \( f = O(g) \) se esiste una costante \( K > 0 \) tale che \( \lvert f(x)\rvert\leqq K\lvert g(x)\rvert \).[/*:m:3nnkz4tx][/list:u:3nnkz4tx]

Su due piedi, mi sembra che la terza definizione sia stata introdotta per contemplare un qualche caso patologico. Per esempio, nel caso in cui almeno una delle due funzioni non ammetta limite. Voglio dire, se f e g sono infinitesime, tendono a zero per intenderci, le prime due definizioni dovrebbero implicare la terza rendendola inutile. Insomma, mi sembra una inutile complicazione. Soprattutto perché, rari ed eventuali casi patologici che necessitino di maggiorazioni esplicite, richiedono competenze essenzialmente superiori.[/quote] In realtà, la definizione che è stata data a me a lezione di \( o \)-piccolo e di \( O \)-grande è ancora diversa, e a quanto ne so ce n'è addirittura un'altra di "diversa" (che si enuncia in termini di \( \limsup \) del rapporto, che esiste sempre). Per il momento non credo di voler capire che cosa cambi da una o dall'altra, perché mi sembra una perdita di tempo. A quanto ne so, dire che \( f = O(g) \) se esiste una costante \( K\geqq 0 \) tale che \( \lvert f(x)\rvert \leqq C\lvert g(x)\rvert \) è più una roba da informatici (prova a guardare da qualche parte dove parlano di analisi degli algoritmi).