Limite con n!
Salve a tutti, ho un problema con questo limite:
$\lim_{n \to \infty}((n!+3n^5+3n^4-9)/(n!-9n^3-6n^2))^((3n!-2)/(n^4))$
So che è una forma indeterminata 1^inf e che devo ricondurmi al limite notevole di Nepero ma non riesco. Come posso procedere? Grazie.
$\lim_{n \to \infty}((n!+3n^5+3n^4-9)/(n!-9n^3-6n^2))^((3n!-2)/(n^4))$
So che è una forma indeterminata 1^inf e che devo ricondurmi al limite notevole di Nepero ma non riesco. Come posso procedere? Grazie.
Risposte
\[ \frac{ n! + 3 n^5 + 3 n^4 -9}{n! - 9 n^3 - 6 n^2} = 1 + \left ( -1 + \frac{ n! + 3 n^5 + 3 n^4 -9}{n! - 9 n^3 - 6 n^2} \right ) = 1 +\frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2} \]
Grazie per la risposta. Ma a questo punto il secondo termine non tende a zero? (Quello con n! al denominatore)
E in questo caso non mi riconduco alla forma 1^inf?
E in questo caso non mi riconduco alla forma 1^inf?
Giusto che il secondo termine tenda a zero, ricorda che ti vuoi ricondurre alla forma: $\lim_{x -> \infty} (1+1/x)^x$
Hai per caso la soluzione dell'esercizio?
Hai per caso la soluzione dell'esercizio?
No, non ho la soluzione purtroppo ma la calcolatrice programmabile mi dá 1.
Rifacendo i calcoli sì, con la ti mi trovo pure io infinito! Ma ancora non capisco come posso arrivarci...
Se tento di ricondurmi al limite notevole di nepero non mi trovo infinito. Qualche suggerimento? Grazie ancora.
Se tento di ricondurmi al limite notevole di nepero non mi trovo infinito. Qualche suggerimento? Grazie ancora.
Utilizzando i suggerimenti:
la soluzione si calcola facilmente.
Infatti, sfruttando le proprietà delle potenze, hai:
\[
\begin{split}
\left( \frac{ n! + 3 n^5 + 3 n^4 -9}{n! - 9 n^3 - 6 n^2}\right)^{\frac{3n!-2}{n^4}} &= \left(1 +\frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2}\right)^{\frac{3n!-2}{n^4}}\\
&= \Big(1 + \underbrace{\frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2}}_{=: x} \Big)^{\overbrace{\frac{n! -9n^3-6n^2}{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}}^{= 1/x}\cdot \frac{3n!-2}{n^4}\cdot \underbrace{\frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2}}_{=x}}\\
&= \left[ \left(1 +\frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2}\right)^{\frac{n! -9n^3-6n^2}{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}}\right]^{\frac{3n!-2}{n^4}\cdot \frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2}}\; ;
\end{split}
\]
il termine tra le quadre tende ad $e$ per limite notevole, mentre il termine all'esponente esterno tende a $+oo$ perché trascurando i termini d'ordine inferiore:
\[
\lim_n \frac{3n!-2}{n^4}\cdot \frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2} = \lim_n \frac{3n!\cdot 3n^5}{n!\cdot n^4} = +\infty\; ;
\]
visto che $e^{+\infty }$ non è una forma indeterminata per la potenza, hai:
\[
\lim_n \left( \frac{ n! + 3 n^5 + 3 n^4 -9}{n! - 9 n^3 - 6 n^2}\right)^{\frac{3n!-2}{n^4}} = +\infty\; .
\]
"Berationalgetreal":
\[ \frac{ n! + 3 n^5 + 3 n^4 -9}{n! - 9 n^3 - 6 n^2} = 1 + \left ( -1 + \frac{ n! + 3 n^5 + 3 n^4 -9}{n! - 9 n^3 - 6 n^2} \right ) = 1 +\frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2} \]
"wanderer":
Giusto che il secondo termine tenda a zero, ricorda che ti vuoi ricondurre alla forma: $ \lim_{x -> 0} (1+x)^(1/x)$ [N.d.Gugo: Ho rimaneggiato il suggerimento per renderlo applicabile senza troppi sforzi.]
la soluzione si calcola facilmente.
Infatti, sfruttando le proprietà delle potenze, hai:
\[
\begin{split}
\left( \frac{ n! + 3 n^5 + 3 n^4 -9}{n! - 9 n^3 - 6 n^2}\right)^{\frac{3n!-2}{n^4}} &= \left(1 +\frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2}\right)^{\frac{3n!-2}{n^4}}\\
&= \Big(1 + \underbrace{\frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2}}_{=: x} \Big)^{\overbrace{\frac{n! -9n^3-6n^2}{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}}^{= 1/x}\cdot \frac{3n!-2}{n^4}\cdot \underbrace{\frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2}}_{=x}}\\
&= \left[ \left(1 +\frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2}\right)^{\frac{n! -9n^3-6n^2}{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}}\right]^{\frac{3n!-2}{n^4}\cdot \frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2}}\; ;
\end{split}
\]
il termine tra le quadre tende ad $e$ per limite notevole, mentre il termine all'esponente esterno tende a $+oo$ perché trascurando i termini d'ordine inferiore:
\[
\lim_n \frac{3n!-2}{n^4}\cdot \frac{3n^5 +3n^4 + 9n^3 + 6n^2 -9}{n! -9n^3-6n^2} = \lim_n \frac{3n!\cdot 3n^5}{n!\cdot n^4} = +\infty\; ;
\]
visto che $e^{+\infty }$ non è una forma indeterminata per la potenza, hai:
\[
\lim_n \left( \frac{ n! + 3 n^5 + 3 n^4 -9}{n! - 9 n^3 - 6 n^2}\right)^{\frac{3n!-2}{n^4}} = +\infty\; .
\]
grazie mille
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