Limite con Mclaurin

[Obidream]

Salve a tutti, ho da calcolare il seguente limite
$lim_(x->+infty) (x-x^2log(1+sin(1/x))$
Ho una forma del tipo $x-g(x)$ con $g(x)=x^2log(1+sin(1/x))$, quindi devo studiare il comportamento di $g(x)$ per vedere se mi trovo in una qualche forma indeterminata.
Pongo $t=1/x$ e per $x->+infty$, $t->0$ ed ottengo:

$(log(1+sint))/t^2$

Siccome $t->0$ posso applicare Mclaurin, quindi:

$log(1+t+o(t))/t^2$

$(t-t^2/2 +o(t^2))/t^2$

$1/t -1/2 +o(1)$

$x=1/t$ quindi $x-1/2+o(1)$

$lim_(x->+infty) x-x+1/2+o(1)=1/2$

Vi pare sensato tutto ciò?

[smaug1]

Senza fare la sostituzione puoi dire che:

$\lim_{x->\infty} (x - x^2 \log (1 + \sin (1/x))) = x - x^2 (1/x - 1/(2 x^2) + o(1/x^2)) = x - x + 1/2 = 1/2$

Siccome non credo di essere attendibile, aspetta una conferma

[Obidream]

A quanto pare sei attendibile è che con la sostituzione mi sento più sicuro diciamo, se provo a saltare passaggi magari sbaglio qualche segno

[smaug1]

Allora fai nel modo in cui ti senti sicuro