Limite con mclaurin

[mancamirko89]

salve ragazzi.....ho un po di problemi con il calcolo di un limite usando gli sviluppi di mclaurin. Il limite incriminato è il seguente : $limx->0 (e^x-cosx-sinx)/(e^(x^2)-e^(x^3))$
Io procedo nel modo seguente: Sviluppo $e^(x^2)$ fino al terzo ordine, mentre $e^(x^3)$ lo sviluppo fino al seondo ordine....al numeratore invece sviluppo tutti i termini fino al sesto ordine, per poi semplificare in seguito. Ecco evidentemente il procedimento da me adottato è sbagliato, visto che il risultato che ottengo è -1/6, mentre il risultato esatto è 1. Dove sbaglio? grazie in anticipo

[Seneca1]

Per prima cosa svilupperei il numeratore:

$(1 + x + x^2/2 + x^3/(6) + o(x^3)) - ( 1 - x^2/2 + o(x^3)) - ( x - x^3/(6) + o(x^3) ) = x^2 + x^3/3 + o(x^3)$

Ti torna fin qui?

[mancamirko89]

si! poi dovrei sviluppare fino al primo ordine quelli al denominatore per caso?

[Seneca1]

"mancamirko89":si! poi dovrei sviluppare fino al primo ordine quelli al denominatore per caso?

Direi che non c'è neppure bisogno di scomodare Taylor.
Se aggiungi e togli $1$ al denomiinatore $(e^(x^2) - 1 ) - ( e^(x^3) - 1 )$ ti accorgi che hai a che fare con una differenza di infinitesimi che non sono dello stesso ordine. Puoi quindi trascurare l'infinitesimo di ordine superiore, cioè $( e^(x^3) - 1 )$.

[mancamirko89]

e se per un'oscura ragione io potessi solo risolverlo con taylor?

[Seneca1]

"mancamirko89":e se per un'oscura ragione io potessi solo risolverlo con taylor?

Sviluppi fino al prim'ordine e trovi: $1 + x^2 + o(x^2) - 1 - x^3 + o(x^3) = x^2 + o(x^2)$

Stesso risultato, ovviamente.