Limite con McLaurin

[andra_zx]

Ciao a tutti ho un dubbio sul seguente limite:

$lim_(x->0)(ln(1 + x)arctg(x) - xsin(x))/(arctg(x) - ln(1 + x) + cos(x) - 1)$

Utilizzando gli sviluppi di McLaurin:
$ln(1 + x) = x - x^2/2$
$arctg(X) = x - x^3/3$
$cos(x) = 1 - x^2/2$

Ottengo come risultato: 3/2, mentre il libro dice 3/4.

Dove ho sbagliato ?? mi pare un limite così semplice..XD

Grazie a tutti..

[cozzataddeo]

Riporta i tuoi passaggi, altrimenti è impossibile capire dove hai commesso l'errore...

[andra_zx]

ah ok..

Ho sostituito:

$lim_(x->0)((x - x^2/2)(x - x^3/3) - x^2)/((x - x^3/3) - (x - x^2) - x^2/2)$

Quindi: $lim_(x->0)(x^2 - x^4/3 - x^3/2 + x^5/6 - x^2)/(x - x + x^2/2 - x^2/2 - x^3/3)$

e mi viene 3/2

[cozzataddeo]

Mi pare che l'errore sta nel fatto che lo sviluppo di McLaurin di $ln(1+x)$ che hai utilizzato a denominatore è troppo corto: devi tener conto anche del termine al cubo, ovvero devi eseguire questa sostituzione.

$ln(1+x) -> x-x^2/2+x^3/3$

Facendo cosí dovresti ritrovare il risultato del libro (non ho fatto i conti dettagliati ma ad occhio il problema mi pare quello).

[andra_zx]

ah giusto.. grazie..

[cozzataddeo]

Di niente.

Buona matematica!