Limite con Logaritmo,Seno,Coseno

[vivi996]

Buongiorno, non riesco a capire che logica usa nell'eseguzione di questo limite: $\lim_{x \to \infty}logx/(sin^4x+cos^4x)$.
Il limite a denominatore non esiste, essendo che la funzione oscilla tra +1 e -1.
Quindi mi fa questo passaggio algebrico:
$\sin^4x+cos^4x = (sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2cos^2x=1-1/2sin^2(2x)$ Ed ok.
Poi deduce che $\1/2 Comunque, dopodichè dice che se $\1/2 Cioè, essendo che è il prodotto di una funzione limitata ed una che tende ad $prop$ , per il confronto di funzioni essa tende ad $prop$ . Però non capisco la dimostrazione analitica.

[feddy]

Quando giungi a $1-1/2sin^2(2x)$, puoi maggiorare il seno con $1$, da cui $1-1/2sin^2(2x) \leq 1- 1/2=1/2$

[pilloeffe]

Ciao vivi96,

"vivi96":essendo che la funzione oscilla tra +1 e -1.

Direi che l'errore è qui, infatti la funzione a denominatore è sempre positiva e si ha:

$1/2 \le sin^4 x + cos^4 x \le 1 $

Infatti che sia $sin^4 x + cos^4 x \le 1$ lo si vede da quanto hai già scritto, invece che sia $sin^4 x + cos^4 x \ge 1/2 $ lo si vede dalla disuguaglianza delle medie aritmetica e quadratica dei due numeri positivi $sin^2 x $ e $cos^2 x $:

$1/2 = frac{sin^2 x + cos^2 x}{2} = A(sin^2 x, cos^2 x) \le Q(sin^2 x, cos^2 x) = sqrt{frac{sin^4 x + cos^4 x}{2}} $

Quindi in definitiva si ha:

$ lim_{x \to +\infty} logx/(sin^4x+cos^4x) = +\infty $