Limite con limiti notevoli e cambio di variabile. Un aiuto?

[marione111]

Salve, ho questo limite che non riesco a risolvere, dovrebbe trovarsi $3/2$ ma mi esce $oo$. Volevo passare avanti e approfondire in un secondo momento ma vedo che poi viene usato anche in altri esercizi quindi mi conviene affrontarlo ora.

$lim_(x->0)$ $ (3arctan(2x+root(2) (3)) - pi)/x $

In effetti il procedimento svolto ce l'ho, ma ho dei passaggi poco chiari e guardando il limite mi sembra un po' complicato il procedimento usato, mentre ad occhio mi sembra(va) risolvibile in maniera più semplice. per cui sarei felice di vedere un esempio di svolgimento che magari mi dà un idea diversa.

nello svolgimento del libro pone $ y = 3arctan(2x + root(2) (3)) - pi $ ma perché per quel valore $y -> 0?$

[Brancaleone1]

Perché

$3arctan(sqrt3)=pi$

[dissonance]

Perché l'arcotangente di \(\sqrt{3}\) fa \(\pi/3\). Per capirlo, scrivi
\[
z=\arctan(\sqrt{3}), \]
il che è la stessa cosa di dire
\[
\tan(z)=\sqrt{3},\qquad z\in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \]
e ora prendi un formulario di trigonometria e vediti quale degli angoli tra \(-\pi/2\) e \(\pi/2\) ha tangente uguale a \(\sqrt{3}\).

[marione111]

oh pardon... facevo il calcolo senza togliere il $- pi$ infatti volevo editare prima della risposta di qualcuno

In ogni caso, voi vedete qualche strada con metodi alternativi? se serve posto lo svolgimento completo

[Brancaleone1]

Beh potresti impiegare de l'Hôpital.