Limite con le successioni

[chiamonti1]

Ciao a tutti!
Ho da calcolare un limite con le successioni:
$\lim_{n \to \infty} (n^2+sinh(n))/(n^2+cosh(2n)$

Con i limti notevoli dovrebbe risultare:

$(n^2+sinh(n))/(n^2+cosh(2*n)$
$=(n^2 + (sinh(n)/n)*n)/(n^2 + (cosh(2*n)/(2*n))*(2*n))$
$ =(n+1)/(n+2)$

ma così si ottiene come risultato 1 (poichè raccolgo la n e semplifico).

Non capisco quale sia l'errore in questo procedimento, poichè il risultato dovrebbe essere zero. Ho provato a risolvere il limite anche esplicitando seno e coseno iperbolico ma con scarsi risultati.

$(n^2+sinh(n))/(n^2+cosh(2*n)$
$ =(2*n^2 + e^n - e^(-n))/(2*n^2 + e^(2*n) + e^(-2*n))$

Potreste indicarmi dove sbaglio nella procedura?

Grazie mille a tutti in anticipo!

[taurus85]

il limite è 1 in quanto sia sinh che cosh variano da -1 a 1, quindi oo +/- k (-1,1) è oo quindi ( x^2 + cosh(x))/(x^2+senh(x)) $=$ x^2/x^2 =1.....

[orsoulx]

Non capisco i limiti notevoli che hai utilizzato nella prima maniera; la seconda invece è corretta e il limite, questa volta, tende a zero.
Ciao
B.

[Berationalgetreal]

"taurus85":il limite è 1 in quanto sia sinh che cosh variano da -1 a 1, quindi oo +/- k (-1,1) è oo quindi ( x^2 + cosh(x))/(x^2+senh(x)) $=$ x^2/x^2 =1.....

Questa è la classica convinzione di chi le funzioni iperboliche le ha sempre intese come "simili" alle trigonometriche. In base alla tua affermazione,

\[ -1 \leq \cosh(x) = \frac{ e^x + e^{-x}}{2} \leq 1 \]

il che è chiaramente falso. Innanzitutto, il coseno iperbolico non assume mai valori negativi. E poi, è una funzione che non massimo. Mai vista una catenaria?
Il seno iperbolico invece può assumere valori negativi, ma non ha né massimo nè minimo.

[chiamonti1]

Sì, per quanto riguarda i limiti notevoli ho sbagliato io. Quello col seno iperbolico esiste e tende a 1, ma quello col coseno invece errore mio (che tonta!).

Quindi nel secondo procedimento raccolgo sopra e sotto $e^(2*n)$ in quanto infinito di ordine superiore e poi giustamente viene zero. Corretto?

Grazie mille a tutti!

[orsoulx]

Corretto il percorso per arrivare al risultato. Non altrettanto quel che dici prima: il seno ed il coseno iperbolici ed $ e^x $, hanno il medesimo comportamento quando la variabile tende all'infinito positivo. La ragione del tendere a zero del limite proposto risiede semplicemente in quel piccolo 2 che accompagna la variabile nel coseno iperbolico.
Ciao
B.