Limite con la serie di Taylor Aiuto!

[macco_cl]

Ciao a tutti da un pò di giorni provo a fare questo limite $ (x*sin(x))/((1-cos(x)*cos(x))*(ln(1+x))) $ con x che tende a 0 lo devo risolvere con Taylor solo che non riesco ad ottenere un risultato,sapreste mica aiutarmi?

P.S io per i limiti con Taylor uso l'o piccolo potreste risolvero con l'o piccolo? ve ne sarei grato

ringrazio in anticipo per le vostre risposte i passaggi sono molto graditi

[Seneca1]

Dividi numeratore e denominatore per $x^2$...

[Seneca1]

Il limite risulta immedito se consideri l'ordine di infinitesimo del numeratore e l'ordine di infinitesimo del denominatore.

[macco_cl]

ma se lo dovessi calcolare sostituendo alle funzioni i relativi sviluppi della serie di taylor come verebbe?sapresti mica dirmi anche il risultato?
grazie mille per l'aiuto

[Seneca1]

"macco_cl":Ciao a tutti da un pò di giorni provo a fare questo limite $ (x*sin(x))/((1-cos(x)*cos(x))*(ln(1+x))) $ con x che tende a 0 lo devo risolvere con Taylor solo che non riesco ad ottenere un risultato,sapreste mica aiutarmi?

P.S io per i limiti con Taylor uso l'o piccolo potreste risolvero con l'o piccolo? ve ne sarei grato

ringrazio in anticipo per le vostre risposte i passaggi sono molto graditi

$x*sin(x) = x*( x + o(x^2) ) = x^2 + o(x^3)$

Il denominatore lo puoi scrivere così:

$(1 + cos(x))*(1- cos(x))*(ln(1+x))$

Sviluppiamo gli ultimi due fattori:

$(1- cos(x))*(ln(1+x)) = ( x^2/2 + o(x^2) ) * ( x + o(x)) = x^3/2 + o(x^3)$


$lim_(x->0) 1/(1 + cos(x)) * (x^2 + o(x^3))/( x^3/2 + o(x^3)) $

[macco_cl]

quindi il risulatato del limite è $ 1/2 $ ?

[Seneca1]

Ma era palesemente inutile. Infatti, sapendo che in un prodotto gli ordini si sommano, hai che $sin(x)* x$ è del second'ordine (poiché $sin(x)$ è del prim'ordine).

Al denominatore hai $1 - cos(x)$, il quale è un infinitesimo del second'ordine, che moltiplica $log(1 + x)$, che è un infinitesimo del prim'ordine. Il denominatore è dello stesso ordine di $x^3$, ed è di ordine superiore rispetto al numeratore.

"macco_cl":quindi il risulatato del limite è $ 1/2 $ ?

No! Per la ragione che ti ho scritto.

[macco_cl]

ok ora ho capito ti ringrazio tantissimo per la tua disponibilità sei stato molto chiaro,grazie mille veramente

[macco_cl]

Ciao scusa se ti disturbo ancora ma se invece del limite precedente avessi limite per x che tende a 0 di $(x^2*sin(x))/((1-cos(x)^2)*(ln(1+x)))$ il discorso degli infiniti varrebbe lo stesso o no?
perchè il software matematico come risultato mi da 1 ma a me a mano non torna.Potresti aiutarmi?
grazie mille

[Paolo902]

"macco_cl":Ciao scusa se ti disturbo ancora ma se invece del limite precedente avessi limite per x che tende a 0 di $(x^2*sin(x))/((1-cos(x)^2)*(ln(1+x)))$ il discorso degli infinitesimi varrebbe lo stesso o no?

Più o meno. Il discorso ovviamente continua a valere in generale, nel tuo caso devi apportare ovvie modifiche. Sopra hai messo un $x^2$, di conseguenza l'ordine del numeratore è $2+1=3$ ed è pari a quello del den.

Quindi...

[macco_cl]

sapresti spiegarmi il limite attraverso passaggi perchè in nessun modo riesco ad ottenere come risultato 1 se possibile con gli sviluppi di Taylor grazie mille

[Paolo902]

Basta che rileggi il post di Seneca e, ovviamente, sostituisci $x$ con $x^2$ nello sviluppo del numeratore.

[macco_cl]

ok grazie mille

[Paolo902]

Prego.