Limite con integrale
Salve a tutti.
Devo calcolare il seguente limite, dove $f:RR->RR$ è una funzione continua e ${x_n}$ una successione reale infinitesima:
$ lim_(n -> +oo) int_(0)^(x_n) f(t)dt $
l'unica idea che mi è venuta in mente è usare il teorema di monotonia integrale essendo la funzione integranda $f = 1$ maggiore di $0$ ma minore o uguale a $1$, passare agli integrali (con gli stessi estremi) che hanno lo stesso ordinamento, calcolare il terzo che è una scemenza che tende a zero, e concludere per il teorema del confronto sui limiti (essendo l'integrale di partenza una funzione integrale, quindi una funzione di ${x_n}$) che il limite vale zero per $n->+oo$.
Questo ragionamento è giusto ? Comunque sia ce ne sono altri ?
Grazie anticipatamente
Devo calcolare il seguente limite, dove $f:RR->RR$ è una funzione continua e ${x_n}$ una successione reale infinitesima:
$ lim_(n -> +oo) int_(0)^(x_n) f(t)dt $
l'unica idea che mi è venuta in mente è usare il teorema di monotonia integrale essendo la funzione integranda $f = 1$ maggiore di $0$ ma minore o uguale a $1$, passare agli integrali (con gli stessi estremi) che hanno lo stesso ordinamento, calcolare il terzo che è una scemenza che tende a zero, e concludere per il teorema del confronto sui limiti (essendo l'integrale di partenza una funzione integrale, quindi una funzione di ${x_n}$) che il limite vale zero per $n->+oo$.
Questo ragionamento è giusto ? Comunque sia ce ne sono altri ?
Grazie anticipatamente
Risposte
Ciao!
Sei nelle ipotesi del teorema della media:
se lo usi,avrai che il termine generale della tua successione è il prodotto tra una successione infinitesima ed una convergente
(la prima lo è per hp,mentre dell'altra potrai dedurlo proprio dal teorema dei due carabinieri e da una nota proprietà dei limiti delle funzioni continue ristrette a successioni..).
Saluti dal web.
Sei nelle ipotesi del teorema della media:
se lo usi,avrai che il termine generale della tua successione è il prodotto tra una successione infinitesima ed una convergente
(la prima lo è per hp,mentre dell'altra potrai dedurlo proprio dal teorema dei due carabinieri e da una nota proprietà dei limiti delle funzioni continue ristrette a successioni..).
Saluti dal web.
"theras":
Ciao!
Sei nelle ipotesi del teorema della media:
se lo usi,avrai che il termine generale della tua successione è il prodotto tra una successione infinitesima ed una convergente
(la prima lo è per hp,mentre dell'altra potrai dedurlo proprio dal teorema dei due carabinieri e da una nota proprietà dei limiti delle funzioni continue ristrette a successioni..).
Saluti dal web.
Ciao !
Non ho capito quello in grassetto
Comunque il mio ragionamento ti sembra giusto ?P.S: poi pensandoci bene, per il teorema della Media (il primo), $f=1$ ha inf e sup pari a $1$, che moltiplicato per $(b-a)$ con $b ={x_n}$ ed $a=0$, rende l'integrale compreso fra ${x_n}$ a sinistra e a destra, e quindi per $n->+oo$, per ipotesi ${x_n}->0$ e quindi il limite di partenza vale $0$ per il teorema dei due carabinieri (io lo chiamo di confronto). Giusto ?
Lo sarebbe se tu fossi certa d'avere a che fare con una funzione sempre compresa tra 0 ed 1:
ma non mi sembra tu possa dedurlo in alcun modo dalle ipotesi iniziali del tuo quesito..
Per quanto riguarda invece la parte che non hai capito,prova a fissare a piacere $overline(n)$$inNN$ e scrivi la tesi del teorema della media il numero naturale $overline(n)$;
poi fallo variare,accorgendoti che quella conclusione resta indipendente da come hai fissato $overline(n)$,
ottenendo così una successione di termine generale $b_n$ t.c. $0<=b_n<=x_n,a_n=(x_n-0)f(b_n)$ $AAn$$inNN$
($a_n$ è,per brevità,il tuo integrale..):
cosa potrai dire del $lim_(n->oo)b_n$?
Ed in seguito come fai a capire il comportamento al limite della successione di termine generale $f(b_n)$?
Rispondi a queste domande,e capirai subito il comportamento al limite della $a_n$:
saluti dal web.
P.S.Ho la sensazione che tu abbia avuto una buona idea,ma poi hai verificato con troppa fretta la sua applicabilità:
spero che questa esperienza ti sarà utile in seguito per sfruttar meglio le pensate buone..
Edit:vedo che ci sei quasi arrivata senza la mia risposta,
ma confermi la mia sensazione:
ti basta solo un pò d'attenzione in più,per assemblare bene le idee buone..
ma non mi sembra tu possa dedurlo in alcun modo dalle ipotesi iniziali del tuo quesito..
Per quanto riguarda invece la parte che non hai capito,prova a fissare a piacere $overline(n)$$inNN$ e scrivi la tesi del teorema della media il numero naturale $overline(n)$;
poi fallo variare,accorgendoti che quella conclusione resta indipendente da come hai fissato $overline(n)$,
ottenendo così una successione di termine generale $b_n$ t.c. $0<=b_n<=x_n,a_n=(x_n-0)f(b_n)$ $AAn$$inNN$
($a_n$ è,per brevità,il tuo integrale..):
cosa potrai dire del $lim_(n->oo)b_n$?
Ed in seguito come fai a capire il comportamento al limite della successione di termine generale $f(b_n)$?
Rispondi a queste domande,e capirai subito il comportamento al limite della $a_n$:
saluti dal web.
P.S.Ho la sensazione che tu abbia avuto una buona idea,ma poi hai verificato con troppa fretta la sua applicabilità:
spero che questa esperienza ti sarà utile in seguito per sfruttar meglio le pensate buone..
Edit:vedo che ci sei quasi arrivata senza la mia risposta,
ma confermi la mia sensazione:
ti basta solo un pò d'attenzione in più,per assemblare bene le idee buone..
Si può scegliere un intorno compatto \(I\) di \(0\) nel quale cadano tutti gli elementi della successione (le successioni convergenti sono limitate); per Weierstrass esiste un \(M\geq 0\) tale che \(|f(x)|\leq M\) per ogni \(x\in I\); per note disuguaglianze si ha:
\[
\left| \int_0^{x_n} f(t)\ \text{d} t\right| \leq \left| \int_0^{x_n} |f(t)|\ \text{d} t\right| \leq M \left| \int_0^{x_n} \text{d} t\right| = M\ |x_n|
\]
e quanto valga il limite si vede da qui.
\[
\left| \int_0^{x_n} f(t)\ \text{d} t\right| \leq \left| \int_0^{x_n} |f(t)|\ \text{d} t\right| \leq M \left| \int_0^{x_n} \text{d} t\right| = M\ |x_n|
\]
e quanto valga il limite si vede da qui.
@theras:
DoH! Hai ragione, è $f$ non $f=1$. Ci ripenso ancora un pò.
EDIT: allora, c'ho riflettuto. Guardando gli appunti ho visto che una funzione $f$ continua è integrabile, e quindi per la definizione di integrale di Riemann, deve essere limitata. Da quest'ultima ricavo che inf e sup devono essere dei numeri. Per il teorema della Media 1, abbiamo quella disuguaglianza, in cui $a=0$ e $b= {x_n}$ e questi inf e sup che sono finiti. Posso applicare il teorema dei carabinieri per $n->+oo$ e vedere che 1° e 3° membro tendono a $0$ e quindi il limite di partenza vale anch'esso $0$. Giusto ?
@gugo 82:
Non capisco come ottieni la prima disuguaglianza. Sicuramente c'è il teorema che dice che se $f$ è integrabile allora $|f|$ lo è pure e inoltre ... ma non riesco a capire come fai comparire il modulo esterno al secondo membro. Mentre preso per vero il secondo membro, il resto è chiaro.
Aspetto risposta da entrambi
DoH! Hai ragione, è $f$ non $f=1$. Ci ripenso ancora un pò.
EDIT: allora, c'ho riflettuto. Guardando gli appunti ho visto che una funzione $f$ continua è integrabile, e quindi per la definizione di integrale di Riemann, deve essere limitata. Da quest'ultima ricavo che inf e sup devono essere dei numeri. Per il teorema della Media 1, abbiamo quella disuguaglianza, in cui $a=0$ e $b= {x_n}$ e questi inf e sup che sono finiti. Posso applicare il teorema dei carabinieri per $n->+oo$ e vedere che 1° e 3° membro tendono a $0$ e quindi il limite di partenza vale anch'esso $0$. Giusto ?
@gugo 82:
Non capisco come ottieni la prima disuguaglianza. Sicuramente c'è il teorema che dice che se $f$ è integrabile allora $|f|$ lo è pure e inoltre ... ma non riesco a capire come fai comparire il modulo esterno al secondo membro.
Mentre preso per vero il secondo membro, il resto è chiaro.Aspetto risposta da entrambi
piccolo up
Alternativa forse meno elegante perché usa uno strumento più grosso.
Per il teorema fondamentale del calcolo, $F(x)=int_(0)^(x) f(t)dt $ è una funzione derivabile (di derivata $f(x)$) e quindi in particolare continua. Inoltre $F(0)=0$. Per cui...
Per il teorema fondamentale del calcolo, $F(x)=int_(0)^(x) f(t)dt $ è una funzione derivabile (di derivata $f(x)$) e quindi in particolare continua. Inoltre $F(0)=0$. Per cui...
@B.B.
Mi sembra proprio che hai esposto i tuoi ragionamenti,
che poi hai reso più precisi e circostanziati traendo spunti di riflessione da un paio d'imbeccate:
insomma sei cresciuta bene e da sola/o sull'argomento,
e dunque non credo di contraddire quello che mi pare d'aver capito essere lo spirito del forum se t'espongo nel dettaglio come ho ragionato..
Il punto di partenza è che,
col solito trucchetto di fissare una valore arbitrario,dedurre su esso delle conclusioni e poi osservare che queste ultime sono,lecitamente e senza temea di smentita,indipendenti da come abbiamo assegnato a piacere quel valore,
siamo riusciti a dimostrare che $AAn$$inNN$ $EEb_ninRR$ t.c. $0<=b_n<=x_n$(1)^$int_0^(x_n)f(x)dx=(x_n-0)f(b_n)$(2);
nasce così una successione ${b_n }_(text {n} inNN)$ t.c. $0<=b_n<=x_n$ $AAn$$inNN$,
che sarà infinitesima per il teorema dei due carabinieri e per l'ipotesi $lim_(n->oo)x_n=0(=lim_(n->oo)0)$:
essendo la f continua per hp,e dato un noto teorema relativo alle funzioni continue ristrette a successioni convergenti,
si avrà inoltre $EElim_(n->oo)f(b_n)=f(0)$ e dunque,visto che la (2) è anch'essa valida $AAn$$inNN$,
$EElim_(n->oo)int_0^(x_n)f(x)dx=lim_(n->oo)x_nf(b_n)=0*f(0)=0$.
Gli altri approcci sono più o meno equivalenti,ed altrettanto validi:
quello di Yellow và sistemato un pò,ma è uno spunto interessante,
mentre quello di Gugo,tanto per cambiare,ti fà vedere la cosa da un'ottica un pò più profonda della mia,
e merita un tuo approfondimento perchè,se ci sbatti ora la testa un pò,
farai un'esperienza formativa importante per allargare sempre più la buona visuale con la quale stai affrontando gli studi..
Saluti dal web.
Mi sembra proprio che hai esposto i tuoi ragionamenti,
che poi hai reso più precisi e circostanziati traendo spunti di riflessione da un paio d'imbeccate:
insomma sei cresciuta bene e da sola/o sull'argomento,
e dunque non credo di contraddire quello che mi pare d'aver capito essere lo spirito del forum se t'espongo nel dettaglio come ho ragionato..
Il punto di partenza è che,
col solito trucchetto di fissare una valore arbitrario,dedurre su esso delle conclusioni e poi osservare che queste ultime sono,lecitamente e senza temea di smentita,indipendenti da come abbiamo assegnato a piacere quel valore,
siamo riusciti a dimostrare che $AAn$$inNN$ $EEb_ninRR$ t.c. $0<=b_n<=x_n$(1)^$int_0^(x_n)f(x)dx=(x_n-0)f(b_n)$(2);
nasce così una successione ${b_n }_(text {n} inNN)$ t.c. $0<=b_n<=x_n$ $AAn$$inNN$,
che sarà infinitesima per il teorema dei due carabinieri e per l'ipotesi $lim_(n->oo)x_n=0(=lim_(n->oo)0)$:
essendo la f continua per hp,e dato un noto teorema relativo alle funzioni continue ristrette a successioni convergenti,
si avrà inoltre $EElim_(n->oo)f(b_n)=f(0)$ e dunque,visto che la (2) è anch'essa valida $AAn$$inNN$,
$EElim_(n->oo)int_0^(x_n)f(x)dx=lim_(n->oo)x_nf(b_n)=0*f(0)=0$.
Gli altri approcci sono più o meno equivalenti,ed altrettanto validi:
quello di Yellow và sistemato un pò,ma è uno spunto interessante,
mentre quello di Gugo,tanto per cambiare,ti fà vedere la cosa da un'ottica un pò più profonda della mia,
e merita un tuo approfondimento perchè,se ci sbatti ora la testa un pò,
farai un'esperienza formativa importante per allargare sempre più la buona visuale con la quale stai affrontando gli studi..
Saluti dal web.
@brownbetty: La prima disuguaglianza è quella standard tra valore assoluto dell'integrale ed integrale del valore assoluto.
Probabilmente sei abituata a vederla senza il valore assoluto esterno al secondo membro, i.e. nella forma:
\[
\left| \int_a^b f(t)\ \text{d} t\right| \leq \int_a^b |f(t)|\ \text{d} t \qquad \text{(con } a\leq b\text{)}\; ;
\]
nel caso in esame hai \(a=0\) e \(b=x_n\) epperò non sai se \(x_n\geq 0\) oppure \(x_n<0\), quindi non sai se l'integrale \(\int_0^{x_n} |f(t)|\ \text{d} t\) è \(\geq 0\) o \(\leq 0\); pertanto al secondo membro devi necessariamente piazzarci un valore assoluto, i.e. usare la disuguaglianza:
\[
\left| \int_a^b f(t)\ \text{d} t\right| \leq \left| \int_a^b |f(t)|\ \text{d} t\right|
\]
che vale comunque in numeri \(a\) e \(b\) siano ordinati.
Probabilmente sei abituata a vederla senza il valore assoluto esterno al secondo membro, i.e. nella forma:
\[
\left| \int_a^b f(t)\ \text{d} t\right| \leq \int_a^b |f(t)|\ \text{d} t \qquad \text{(con } a\leq b\text{)}\; ;
\]
nel caso in esame hai \(a=0\) e \(b=x_n\) epperò non sai se \(x_n\geq 0\) oppure \(x_n<0\), quindi non sai se l'integrale \(\int_0^{x_n} |f(t)|\ \text{d} t\) è \(\geq 0\) o \(\leq 0\); pertanto al secondo membro devi necessariamente piazzarci un valore assoluto, i.e. usare la disuguaglianza:
\[
\left| \int_a^b f(t)\ \text{d} t\right| \leq \left| \int_a^b |f(t)|\ \text{d} t\right|
\]
che vale comunque in numeri \(a\) e \(b\) siano ordinati.
@theras: ti riferivi al teorema della Media 2, io a quello 1. Ecco ora la faccenda è molto più chiara. Mia distrazione ... non capisco però alla fine del ragionamento, come fai a supporre che $f(0)$ è un valore finito (oppure questo è un fatto banale ?)
@gugo82: ora è chiaro
@yellow & theras: fino a quando si dimostra che $F(x_n)$ è continua, tutto a posto. Il problema è dimostrare che $F(x_n) = 0$ (e non so come fare ...). Fatto questo, penso che la tesi segua dal teorema sulle funzioni continue e le successioni usato da theras.
@gugo82: ora è chiaro
@yellow & theras: fino a quando si dimostra che $F(x_n)$ è continua, tutto a posto. Il problema è dimostrare che $F(x_n) = 0$ (e non so come fare ...). Fatto questo, penso che la tesi segua dal teorema sulle funzioni continue e le successioni usato da theras.
"brownbetty":
@theras: ... non capisco però alla fine del ragionamento, come fai a supporre che $f(0)$ è un valore finito (oppure questo è un fatto banale ?)
Beh:hai ipotizzato tu che $domf=RR$,ed a me pare che $0inRR$..
Saluti dal web.
P.S.
OT
M'hai ricordare un vecchio Dylan Dog,che s'intitolava treperzero:
grazie!!!
OT
Ok, ho sistemato i primi due metodi, direi che bastano.
Per il terzo vedo di rifletterci quando ho tempo (c'è ancora spazio nel quaderno per farcelo entrare
)
EHEHEH
Vi ringrazio !
Per il terzo vedo di rifletterci quando ho tempo (c'è ancora spazio nel quaderno per farcelo entrare
)P.S. OT M'hai ricordare un vecchio Dylan Dog,che s'intitolava treperzero: grazie!!! OT
EHEHEH
Vi ringrazio !
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