Limite con integrale
Ciao a tutti. Ecco il mio problema:
$lim_{x-> 0} (int_0^(x^2) ln(1+sin(t)) dt)/x^2$
allora, visto che è una forma indeterminata : $0/0$ ho applicato de l'hopital
$=> lim_{x-> 0} (ln(1+sin(x^2))*2x - ln(1+sin(0)) * 0)/(2x) $ che è ancora una forma indeterminata. (PS: è giusto la derivata dell'integrale? )
$=> lim_{x-> 0} [1/(1+sin(x^2)) * cos(x^2) * 4x^2 + 2 ln(1 + sin(x^2))] * 1/2 = ln 1$ ma nel libro ho risultato 0.
sapete darmi una mano? Grazie 1000
$lim_{x-> 0} (int_0^(x^2) ln(1+sin(t)) dt)/x^2$
allora, visto che è una forma indeterminata : $0/0$ ho applicato de l'hopital
$=> lim_{x-> 0} (ln(1+sin(x^2))*2x - ln(1+sin(0)) * 0)/(2x) $ che è ancora una forma indeterminata. (PS: è giusto la derivata dell'integrale? )
$=> lim_{x-> 0} [1/(1+sin(x^2)) * cos(x^2) * 4x^2 + 2 ln(1 + sin(x^2))] * 1/2 = ln 1$ ma nel libro ho risultato 0.
sapete darmi una mano? Grazie 1000
Risposte
ln1=0
Ehm, $\ln1=0$. 
ma $ln(1)$ quanto fa?
Perchè è una forma indeterminata? non mi piace come hai fatto la derivata dell'integrale, visto che il secondo termine è una costante in x, la sua derivata fa 0!
Perchè è una forma indeterminata? non mi piace come hai fatto la derivata dell'integrale, visto che il secondo termine è una costante in x, la sua derivata fa 0!
no commenti, mi uccido da solo. Perso minimo mezzora.
Se è : $ lim_(x rarr 0) (int_0^(x^2) ln(1+sen t)dt)/x^2 $ allora dopo aver applicato Del'Hopital ottieni :
$lim_(x rarr 0)(2x*ln(1+sen(x^2)))/(2x) = lim_(x rarr0 ) ln(1+sen(x^2)) = 0 $.
$lim_(x rarr 0)(2x*ln(1+sen(x^2)))/(2x) = lim_(x rarr0 ) ln(1+sen(x^2)) = 0 $.
"PL":
ma $ln(1)$ quanto fa?
Perchè è una forma indeterminata?
perchè è un integrale che va da 0 a $->0$ cioè 0
"PL":quella è la formula che ho per la derivata dell'integrale. Che vuol dire che il secondo termine è una costante in x?
non mi piace come hai fatto la derivata dell'integrale, visto che il secondo termine è una costante in x, la sua derivata fa 0!
dopo il primo colpo di hopital i 2x si semplificano e viene direttamente ln1, come ha esplicitato camillo...
quel "per zero" sembrava quasi la derivata di qualche argomento.. dicevo che il quando fai l'integrale il secondo termine (quello calcolato in zero) non dipende da x, quindi la sua derivata fa zero
quel "per zero" sembrava quasi la derivata di qualche argomento.. dicevo che il quando fai l'integrale il secondo termine (quello calcolato in zero) non dipende da x, quindi la sua derivata fa zero
Per tagliar la testa al toro: qual è la derivata di $\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt$?
"Tipper":
Per tagliar la testa al toro: qual è la derivata di $\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt$?
dovrebbe essere:
$ln(1+sin(x^2)) * 2x - ln(1+sin(1)) * 0$
$=> ln(1+sin(x^2)) * 2x$
chiedo conferme per la correttezza di quanto scritto
"zannas":
[quote="Tipper"]Per tagliar la testa al toro: qual è la derivata di $\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt$?
dovrebbe essere:
$ln(1+sin(1/x^2)) * 2x - ln(1+sin(1)) * 0$
$=> ln(1+sin(1/x^2)) * 2x$
chiedo conferme per la correttezza di quanto scritto[/quote]
La derivata l'ha scitta bene Camillo.
Ma è possibile che nessuno, a parte lui, si ricordi mai il Teorema sulla Derivazione della Funzione Composta quando si tratta di derivare le funzioni integrali?
(Ebbene si, è capitato già altre volte...)
Poniamo $F(x)=\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt$, $f(y)=\int_1^{y} \ln(1 + \sin(t)) dt$ e $g(x)=x^2$, cosicchè $F(x)=f(g(x))$; applicando il teorema richiamato prima si trova facilmente:
$("d"F)/("d"x)(x)=("d"f)/("d"y)(g(x))*("d"g)/("d"x)(x)=2x*\ln(1 + \sin(x^2))$.
Io avrei fatto così: detta $F(x)$ una primitiva di $\ln(1 + \sin(x))$, per il teorema fondamentale del calcolo
$\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt = F(x^2) - F(1)$
quindi
$\frac{d}{dx} (\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt) = \frac{d}{dx} (F(x^2) - F(1)) = (F(x^2))^{\prime} = 2x F'(x^2)$
ma $F'(x) = \ln(1 + \sin(x))$
quindi $F'(x^2) = \ln(1 + \sin(x^2))$, di conseguenza
$\frac{d}{dx} (\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt) = 2x \ln(1 + \sin(x^2))$
$\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt = F(x^2) - F(1)$
quindi
$\frac{d}{dx} (\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt) = \frac{d}{dx} (F(x^2) - F(1)) = (F(x^2))^{\prime} = 2x F'(x^2)$
ma $F'(x) = \ln(1 + \sin(x))$
quindi $F'(x^2) = \ln(1 + \sin(x^2))$, di conseguenza
$\frac{d}{dx} (\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt) = 2x \ln(1 + \sin(x^2))$
"Tipper":
Io avrei fatto così: detta $F(x)$ una primitiva di $\ln(1 + \sin(x))$, per il teorema fondamentale del calcolo
$\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt = F(x^2) - F(1)$
quindi
$\frac{d}{dx} (\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt) = \frac{d}{dx} (F(x^2) - F(1)) = (F(x^2))^{\prime} = 2x F'(x^2)$
ma $F'(x) = \ln(1 + \sin(x))$
quindi $F'(x^2) = \ln(1 + \sin(x^2))$, di conseguenza
$\frac{d}{dx} (\int_1^{x^2} \ln(1 + \sin(t)) dt) = 2x \ln(1 + \sin(x^2))$
Il Teorema Fondamentale d el Calcolo Integrale asserisce che la derivata di una funzione integrale del tipo $F(y)=\int_a^yf(t)"d"t$ è proprio $f(y)$.
Perciò non c'è bisogno di passare attraverso una espressione "esplicita" dell'integrale di $\ln(1 + \sin(x))$ e può bastare richiamare il Teorema di Derivazione della Funzione Composta.
"Camillo":
Se è : $ lim_(x rarr 0) (int_0^(x^2) ln(1+sen t)dt)/x^2 $ allora dopo aver applicato Del'Hopital ottieni :
$lim_(x rarr 0)(2x*ln(1+sen(x^2)))/(2x) = lim_(x rarr0 ) ln(1+sen(x^2)) = 0 $.
Non vedo la necessità di applicare L'Hopital.
Visto che abbiamo un limite per $x \rightarrow 0$, anche $x^2 \rightarrow 0$, e quindi
l'integrale $\int_0^(x^2) ln(1+\sin t) dt$ può essere approssimato tenendo conto che
sull'intervallo $(0;x^2)$ la funzione è praticamente costante:
$\lim_{x \rightarrow 0} \int_0^(x^2) ln(1+\sin t) dt$ $<$ $\lim_{x \rightarrow 0} x^2 \cdot ln(1+\sin (x^2))$
Il resto è facile..
Francesco Daddi
"gugo82":
Ma è possibile che nessuno, a parte lui, si ricordi mai il Teorema sulla Derivazione
della Funzione Composta quando si tratta di derivare le funzioni integrali?
(Ebbene si, è capitato già altre volte...)
Bè, l'esercizio non richiede per forza questo teorema,
basta ragionare sulla media integrale.
Francesco Daddi
"franced":
[quote="gugo82"] Ma è possibile che nessuno, a parte lui, si ricordi mai il Teorema sulla Derivazione
della Funzione Composta quando si tratta di derivare le funzioni integrali?
(Ebbene si, è capitato già altre volte...)
Bè, l'esercizio non richiede per forza questo teorema,
basta ragionare sulla media integrale.
Francesco Daddi[/quote]
Lo so ed infatti non ho mai sostenuto che sia necessario usare il Teorema di de l'Hospital: ho soltanto detto che alcuni utenti si perdono quando si tratta di derivare una funzione composta tramite una funzione integrale.
La dimostrazione corretta del ragionamento del Daddi è la seguente.
Stiamo ragionando al limite, pertanto possiamo limitare le nostre osservazioni ad un intorno piccolo di $0$ (ad esempio $[-1/2,1/2]$): il teorema del valor medio implica che $AAx in [-1/2,1/2]$ è possibile determinare un $xi in [0,x^2]$ in modo che risulti:
$(\int_0^(x^2)ln(1+sint) "d"t)/(x^2)=(x^2*ln(1+sin(xi)))/(x^2)=ln(1+sin(xi))$;
dato che $0lexile x^2$, quando $xto 0$ anche $xi to 0$; la continuità della funzione integranda in $0$ importa:
$lim_(xto0)(\int_0^(x^2)ln(1+sint) "d"t)/(x^2)=lim_(xi to 0)ln(1+sin(xi))=ln1=0$.
Proporrei di fare anche in quest'altro modo:
sviluppo in serie $ln(1+sin(t))$, integro pezzo per pezzo e poi faccio il limite.
Francesco Daddi
sviluppo in serie $ln(1+sin(t))$, integro pezzo per pezzo e poi faccio il limite.
Francesco Daddi
"franced":
Non vedo la necessità di applicare L'Hopital.
Visto che abbiamo un limite per $x \rightarrow 0$, anche $x^2 \rightarrow 0$, e quindi
l'integrale $\int_0^(x^2) ln(1+\sin t) dt$ può essere approssimato tenendo conto che
sull'intervallo $(0;x^2)$ la funzione è praticamente costante:
$\lim_{x \rightarrow 0} \int_0^(x^2) ln(1+\sin t) dt$ $<$ $\lim_{x \rightarrow 0} x^2 \cdot ln(1+\sin (x^2))$
Spiego il perché di quella disuguaglianza:
la funzione $ln(1+sin (t))$ è crescente sull'intervallo $(0;x^2)$ (per $x$ abbastanza piccolo),
quindi posso dire con sicurezza che su tale intervallo si ha: $ln(1+sin (t)) < ln(1+sin (x^2))$
in quanto su $(0;x^2)$ la funzione assume il valore massimo proprio per $t=x^2$.
L'integrale sarà quindi minore dell'area del rettangolo che ha per lati $x^2$ e proprio $ln(1+sin (x^2))$.
Seguendo questo procedimento si fa a meno anche della media integrale.
Che ne dite?
Francesco Daddi
"franced":
Proporrei di fare anche in quest'altro modo:
sviluppo in serie $ln(1+sin(t))$, integro pezzo per pezzo e poi faccio il limite.
Francesco Daddi
Si ottiene:
$\int_{0}^{x^2} ln (1+ \sin (t)) dt = \int_{0}^{x^2} (t - \frac{1}{2}t^2 + ...) dt =$
$= [\frac{1}{2} t^2 - \frac{1}{6} t^3 + ...]_{0}^{x^2} = \frac{1}{2} x^4 - \frac{1}{6} x^6 + ...$
quindi il limite di partenza è:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^2} ln (1+ \sin (t)) dt}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^4 - \frac{1}{6} x^6 + ...}{x^2} = $
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{6} x^4 + ...$ $= 0$
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