Limite con il logaritmo

[kittyetobbias]

Buonasera a tutti!Ho disperatamente bisogno di qualcuno che mi aiuti con questo limite:

$lim_{x \to \+infty}log_{x}(cosx + 2)=$

non riesco a capire cosa devo fare per risolverlo.Se potete datemi una mano!
Grazie in anticipo!

[Seneca1]

Cambiando base?

$log_x (cosx + 2) = { log_e ( cosx + 2 )}/ { log_e (x) }$

Ciao.

[kittyetobbias]

niente da fare!non riesco proprio ad andare avanti.non potresti darmi un piccolo suggerimento?

[salvozungri]

Puoi procedere in questo modo:

Osserva un attimo l'argomento del logaritmo:
$1<=cos(x)+2<=3$ e dunque hai che

$0<=log_e (cos(x)+2)<= log_e(3)$ e dunque:
$0<=(log_e (cos(x)+2))/(log_e(x))<= (log_e(3))/(log_e(x))\quad\quad AAx>1$
passando al limite $ (log_e(3))/(log_e(x))$ tende a zero e per il teorema dei carabinieri anche
$(log_e (cos(x)+2))/(log_e(x))$ converge a zero.

[Seneca1]

Se applichi l'identità che ti ho scritto poco fa, il limite diventa banale.

Per $ x-> +oo$ l'argomento del logaritmo a numeratore oscilla tra $1$ e $3$. Quindi il logaritmo "oscilla", in un intorno di $+oo$, tra $0$ e $log(3)$.

Il denominatore ha limite $+oo$. Quindi...