Limite con Hopital
$ lim_(x -> 0) (e^(sinx)-e^x)/(x-sinx)=[0/0]f.i $
applico Hopital:
$ lim_(x -> 0) (cosxe^(sinx)-e^x)/(1-cosx)=[0/0]f.i $
applico Hopital:
$ lim_(x -> 0) (-sinxe^sinx+cos^2xe^sinx)/(sinx)=[1/0]= $ =infinito
il risultato che ottengo non è corretto deve essere -1.
dove sbaglio?
Grazie a tutti!
applico Hopital:
$ lim_(x -> 0) (cosxe^(sinx)-e^x)/(1-cosx)=[0/0]f.i $
applico Hopital:
$ lim_(x -> 0) (-sinxe^sinx+cos^2xe^sinx)/(sinx)=[1/0]= $ =infinito
il risultato che ottengo non è corretto deve essere -1.
dove sbaglio?
Grazie a tutti!
Risposte
Ciao cri98,
Nella seconda applicazione della regola di de l'Hôpital, infatti si ha:
$ \lim_{x \to 0}(-e^sinx sin x + e^sinx cos^2x - e^x)/(sinx) = \lim_{x \to 0}(-e^sinx sin x+e^sinx (1 - sin^2x) - e^x)/(sinx) = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - e^x}{sinx}] = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - 1 - (e^x - 1)}{sinx}] = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - 1}{sinx} - \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{x}{sin x}] = - 1 - 0 + 1 - 1 \cdot 1 = - 1 $
"cri98":
dove sbaglio?
Nella seconda applicazione della regola di de l'Hôpital, infatti si ha:
$ \lim_{x \to 0}(-e^sinx sin x + e^sinx cos^2x - e^x)/(sinx) = \lim_{x \to 0}(-e^sinx sin x+e^sinx (1 - sin^2x) - e^x)/(sinx) = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - e^x}{sinx}] = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - 1 - (e^x - 1)}{sinx}] = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - 1}{sinx} - \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{x}{sin x}] = - 1 - 0 + 1 - 1 \cdot 1 = - 1 $
@cri98: è obbligatorio usare De L'Hopital? Con un limite notevole mi sembra più diretto:
$ lim_(x -> 0) (e^(sinx)-e^x)/(x-sinx)=lim_(x -> 0) (e^(sinx-x)*e^x-e^x)/(x-sinx)=lim_(x -> 0) e^x/-1*(e^(sinx-x)-1)/(sinx-x)=...$
$ lim_(x -> 0) (e^(sinx)-e^x)/(x-sinx)=lim_(x -> 0) (e^(sinx-x)*e^x-e^x)/(x-sinx)=lim_(x -> 0) e^x/-1*(e^(sinx-x)-1)/(sinx-x)=...$
ciao ragazzi,
Grazie arnett,pilloeffe e Palliit per le vostre risposte.
hai ragione non me ne sono proprio accorto Grazie!
giusto lo terrò in considerazione
Nella seconda applicazione della regola di de l'Hôpital, infatti si ha:
$ \lim_{x \to 0}(-e^sinx sin x + e^sinx cos^2x - e^x)/(sinx) = \lim_{x \to 0}(-e^sinx sin x+e^sinx (1 - sin^2x) - e^x)/(sinx) = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - e^x}{sinx}] = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - 1 - (e^x - 1)}{sinx}] = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - 1}{sinx} - \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{x}{sin x}] = - 1 - 0 + 1 - 1 \cdot 1 = - 1 $[/quote]
Grazie pilloeffe per lo svolgimento, adesso mi è tutto più chiaro
l'esercizio richiedeva l'utilizzo di De Hopital, però tengo in considerazione anche l'utilizzo dei limiti notevoli
Grazie per lo svolgimento, lo terrò in considerazione:smt023
Grazie arnett,pilloeffe e Palliit per le vostre risposte.
"arnett":
Hai buttato via la derivata di $-e^x$ a numeratore, se la tiene scoprirai con piacere che anche il terzo limite viene una forma indeterminata)
hai ragione non me ne sono proprio accorto Grazie!
"arnett":
Taylor non è una possibilità?
giusto lo terrò in considerazione
"pilloeffe":
Ciao cri98,
[quote="cri98"]dove sbaglio?
Nella seconda applicazione della regola di de l'Hôpital, infatti si ha:
$ \lim_{x \to 0}(-e^sinx sin x + e^sinx cos^2x - e^x)/(sinx) = \lim_{x \to 0}(-e^sinx sin x+e^sinx (1 - sin^2x) - e^x)/(sinx) = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - e^x}{sinx}] = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - 1 - (e^x - 1)}{sinx}] = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - 1}{sinx} - \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{x}{sin x}] = - 1 - 0 + 1 - 1 \cdot 1 = - 1 $[/quote]
Grazie pilloeffe per lo svolgimento, adesso mi è tutto più chiaro
"Palliit":
@cri98: è obbligatorio usare De L'Hopital? Con un limite notevole mi sembra più diretto:
l'esercizio richiedeva l'utilizzo di De Hopital, però tengo in considerazione anche l'utilizzo dei limiti notevoli
"Palliit":
$ lim_(x -> 0) (e^(sinx)-e^x)/(x-sinx)=lim_(x -> 0) (e^(sinx-x)*e^x-e^x)/(x-sinx)=lim_(x -> 0) e^x/-1*(e^(sinx-x)-1)/(sinx-x)=... $
Grazie per lo svolgimento, lo terrò in considerazione:smt023
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo