Limite con Hopital

cri981
$ lim_(x -> 0) (e^(sinx)-e^x)/(x-sinx)=[0/0]f.i $

applico Hopital:
$ lim_(x -> 0) (cosxe^(sinx)-e^x)/(1-cosx)=[0/0]f.i $

applico Hopital:
$ lim_(x -> 0) (-sinxe^sinx+cos^2xe^sinx)/(sinx)=[1/0]= $ =infinito

il risultato che ottengo non è corretto deve essere -1.
dove sbaglio?

Grazie a tutti!

Risposte
pilloeffe
Ciao cri98,
"cri98":
dove sbaglio?

Nella seconda applicazione della regola di de l'Hôpital, infatti si ha:

$ \lim_{x \to 0}(-e^sinx sin x + e^sinx cos^2x - e^x)/(sinx) = \lim_{x \to 0}(-e^sinx sin x+e^sinx (1 - sin^2x) - e^x)/(sinx) = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - e^x}{sinx}] = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - 1 - (e^x - 1)}{sinx}] = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - 1}{sinx} - \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{x}{sin x}] = - 1 - 0 + 1 - 1 \cdot 1 = - 1 $

Palliit
@cri98: è obbligatorio usare De L'Hopital? Con un limite notevole mi sembra più diretto:

$ lim_(x -> 0) (e^(sinx)-e^x)/(x-sinx)=lim_(x -> 0) (e^(sinx-x)*e^x-e^x)/(x-sinx)=lim_(x -> 0) e^x/-1*(e^(sinx-x)-1)/(sinx-x)=...$

cri981
ciao ragazzi,
Grazie arnett,pilloeffe e Palliit per le vostre risposte.
"arnett":
Hai buttato via la derivata di $-e^x$ a numeratore, se la tiene scoprirai con piacere che anche il terzo limite viene una forma indeterminata)

hai ragione non me ne sono proprio accorto Grazie!
"arnett":

Taylor non è una possibilità?


giusto lo terrò in considerazione :smt023

"pilloeffe":
Ciao cri98,
[quote="cri98"]dove sbaglio?

Nella seconda applicazione della regola di de l'Hôpital, infatti si ha:

$ \lim_{x \to 0}(-e^sinx sin x + e^sinx cos^2x - e^x)/(sinx) = \lim_{x \to 0}(-e^sinx sin x+e^sinx (1 - sin^2x) - e^x)/(sinx) = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - e^x}{sinx}] = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - 1 - (e^x - 1)}{sinx}] = $
$ = \lim_{x \to 0}[-e^sinx - e^sinx sin x + \frac{e^sinx - 1}{sinx} - \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{x}{sin x}] = - 1 - 0 + 1 - 1 \cdot 1 = - 1 $[/quote]

Grazie pilloeffe per lo svolgimento, adesso mi è tutto più chiaro :smt023

"Palliit":
@cri98: è obbligatorio usare De L'Hopital? Con un limite notevole mi sembra più diretto:

l'esercizio richiedeva l'utilizzo di De Hopital, però tengo in considerazione anche l'utilizzo dei limiti notevoli

"Palliit":

$ lim_(x -> 0) (e^(sinx)-e^x)/(x-sinx)=lim_(x -> 0) (e^(sinx-x)*e^x-e^x)/(x-sinx)=lim_(x -> 0) e^x/-1*(e^(sinx-x)-1)/(sinx-x)=... $

Grazie per lo svolgimento, lo terrò in considerazione:smt023

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