Limite (con Hopital?)
Salve a tutti.
In questo limite volendo potrei applicare il teorema dell'Hopital?
$ lim_(x -> 1^+) ((x^2-2x+1)/(x^2-1)) $
il mio dubbio proviene dal quel $ x -> 1^+ $
Grazie!
In questo limite volendo potrei applicare il teorema dell'Hopital?
$ lim_(x -> 1^+) ((x^2-2x+1)/(x^2-1)) $
il mio dubbio proviene dal quel $ x -> 1^+ $
Grazie!
Risposte
Non vedo perché dovresti applicarlo... questo limite lo puoi fare tranquillamente così com'è:
ti viene un $0^+ / 0^+ = 0$
Il Marchese ti serve se ti ritrovi con delle forme indeterminate difficili da sciogliere
ti viene un $0^+ / 0^+ = 0$
Il Marchese ti serve se ti ritrovi con delle forme indeterminate difficili da sciogliere
Si si hai perfettamente ragione! Però il mio dubbio è proprio se il teorema posso applicarlo anche in questo caso! Perchè il risultato è corretto anche col teorema de l'Hopital, ma non sono certo di poterlo applicare ad una forma $ 0^+/0^+ $ ... a prescindere dal fatto che abbia senso 
Quindi potrei applicarlo secondo te?
Quindi potrei applicarlo secondo te?
Lo puoi applicare, volendo! 
L'enunciato del teorema dice proprio: sia $x_0$ l'estremo sinistro di un intervallo, e dette due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ derivabili nell'intervallo senza $x_0$, con $g'(x) != 0$ se esiste $lim_(x->x_0^+) (f'(x))/(g'(x)) = λ $ allora esiste $lim_(x->x_0^+) (f(x))/(g(x)) = λ$ con λ che può essere sia finito che infinito.
(la stessa definizione si applica per l'estremo destro e per il limite che tende a $x_0^-$)
L'enunciato del teorema dice proprio: sia $x_0$ l'estremo sinistro di un intervallo, e dette due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ derivabili nell'intervallo senza $x_0$, con $g'(x) != 0$ se esiste $lim_(x->x_0^+) (f'(x))/(g'(x)) = λ $ allora esiste $lim_(x->x_0^+) (f(x))/(g(x)) = λ$ con λ che può essere sia finito che infinito.
(la stessa definizione si applica per l'estremo destro e per il limite che tende a $x_0^-$)
Ti ringrazio moltissimo per l'aiuto!
Non sono sicuro che qualcuno sia dello stesso parere purtoppo...
Però anche io ho letto la dimostrazione ed in effetti viene fatta considerando $ x -> x_0 $, $ x -> x_0^+ $ e $ x -> x_0^- $ ed in effetti non capisco il perchè si debba applicare solamente ad una forma che sia indeterminata quando ciò non è necessariamente richiesto dal teorema... e mi sembra che ciò che viene richiesto dal teorema ci sia anche in questo caso... ma forse c'è qualcosa che non capisco io..
Non sono sicuro che qualcuno sia dello stesso parere purtoppo...
Però anche io ho letto la dimostrazione ed in effetti viene fatta considerando $ x -> x_0 $, $ x -> x_0^+ $ e $ x -> x_0^- $ ed in effetti non capisco il perchè si debba applicare solamente ad una forma che sia indeterminata quando ciò non è necessariamente richiesto dal teorema... e mi sembra che ciò che viene richiesto dal teorema ci sia anche in questo caso... ma forse c'è qualcosa che non capisco io..
Il teorema di solito lo si applica per le forme indeterminate (diciamo che serve a questo), ma per usarlo non è necessario che ci troviamo di fronte a una forma indeterminata, puoi usarlo quando vuoi!
Infatti sto verificando dalla dimostrazione e ciò che è richiesto c'è tutto! Quindi sono anche io abbastanza convinto di poterlo fare liberamente...
Grazie ancora!!
Grazie ancora!!
Per la precisione: lo puoi usare soltanto se entrambe le funzioni, quella al numeratore e quella al denominatore, tendono allo stesso limite
"cicalino":
Non vedo perché dovresti applicarlo... questo limite lo puoi fare tranquillamente così com'è:
ti viene un $0^+ / 0^+ = 0$
Il Marchese ti serve se ti ritrovi con delle forme indeterminate difficili da sciogliere
Ma \(\displaystyle \frac{0^{+}}{0^{+}} \) è una forma indeterminata.
Seppur il limite in sè in effetti non richieda de l'Hôpital:
\(\displaystyle \lim_{x\to 1^+} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = \lim_{x\to 1^+} \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x\to 1^+} \frac{(x-1)}{(x+1)} = 0 \)
D'altra parte anche \(\displaystyle \lim_{x\to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = \lim_{x\to 1^+} \frac{x+1}{x-1} \) ha la forma \(\displaystyle \frac{0^{+}}{0^{+}} \) ma il limite è \(\displaystyle +\infty \).
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