Limite con gli o-piccoli

[talitadiodati90]

ciao, l'esercizio che sto cercando di svolgere è
$ limx->o (cosh^2 x -1 -x^2)/x^4 $ da risolvere utilizzando con Taylor

io l'ho fatto in questo modo:

$ limx->o (cosh^2 x -1 -x^2)/x^4 $

$ = ((1+x^2/(2!)+o(x^3))^2 -1 -x^2)/x^4 $

$ = (1+x^4/(4)+o(x^5) -1 -x^2)/x^4 $

quindi

$ = (-x^2+(x^4)/4+o(x^5))/x^4 $

arrivata a questo punto dovrei fare il rapporto tra chi va più velocemente a 0 e il risultato dovrebbe essere $1/3$ ma come l'ho svolto io viene $-1/x^2$
chi sa dirmi, ovviamente per favore, dove è l'errore?? ne ho fatti anche altri e alla fine arrivo sempre a fare il rapporto tra termini di grado diverso e quindi non viene il risultato! -.-
grazie 1000!

[Sk_Anonymous]

Ciao, siccome il denominatore è di grado 4, devi sviluppare il coseno iperbolico fino al quarto grado; poi lo elevi al quadrato e trascuri i termini di grado superiore al 4, ottenendo come risultato 1/3.

[ciampax]

Come diceva Soscia, dal momento che a denominatore hai un infinitesimo di ordine $4$ ti consiglierei di sviluppare il numeratore almeno fino allo stesso ordine: per fare ciò, devi notare che

[tex]$\cosh^2 x=\left(1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\right)^2$[/tex]

e che quando svolgi i quadrati devi tenere conto di un bel po' di termini (ricorda che in un quadrato di polinomio ci sono anche i doppi prodotti!).

[Pdirac]

Ma mi sa che a questo punto invece di sviluppare cosh(x) e quadrare lo sviluppo al quadrato è più veloce sviluppare direttamente cosh(x)^2!

[ciampax]

"Pdirac":Ma mi sa che a questo punto invece di sviluppare cosh(x) e quadrare lo sviluppo al quadrato è più veloce sviluppare direttamente cosh(x)^2!

Non ti seguo..... secondo te

[tex]\cosh^2 x=\cosh x^2$[/tex] ???? (anche solo nello sviluppo?)

A me viene

[tex]$\cosh^2 x=1+x^2+\frac{x^4}{3}+o(x^4),\qquad \cosh x^2=1+\frac{x^4}{2}+o(x^4)$[/tex]

che mi sembrano un tantinello diversi.

[talitadiodati90]

ok! afferrato il concetto di sviluppare fino al 4° grado ma...
sviluppando ottengo:

$ limx->o (cosh^2 x -1 -x^2)/x^4 $

$ = ((1+x^2/(2!)+x^4/(4!)+o(x^5))^2 -1 -x^2)/x^4 $

$ = (1+x^4/(4)+x^8/(4!^2)+o(x^9) -1 -x^2)/x^4 $

$ = (-x^2+(x^4)/4+x^8/(4!^2)+o(x^9))/x^4 $

come vedo che da $1/3$??

[ciampax]

@angel9anta: ma lo hai letto il mio post dove l'ho calcolato lo sviluppo? Quello che hai scritto tu è errato!

[talitadiodati90]

aaah! l'ho visto ora... scusate!
ok! ora i conti tornano anche a me
grazie 1000 a tutti e 2

[Pdirac]

"ciampax":[quote="Pdirac"]Ma mi sa che a questo punto invece di sviluppare cosh(x) e quadrare lo sviluppo al quadrato è più veloce sviluppare direttamente cosh(x)^2!

Non ti seguo..... secondo te

[tex]\cosh^2 x=\cosh x^2$[/tex] ???? (anche solo nello sviluppo?)

A me viene

[tex]$\cosh^2 x=1+x^2+\frac{x^4}{3}+o(x^4),\qquad \cosh x^2=1+\frac{x^4}{2}+o(x^4)$[/tex]

che mi sembrano un tantinello diversi.[/quote]
no no, intendevo $cosh^2(x)$, a svilupparlo direttamente con il quadrato invece di sviluppare cosh(x) e poi elevare al quadrato, cioè quello che hai fatto adesso

[ciampax]

Ah, nel senso che prima scrivi [tex]$\cosh^2 x=\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2}{4}$[/tex] e poi sviluppi? Sì, ok, sarebbe più comodo... ma bisogna vedere se uno si ricorda la definizione delle funzioni iperboliche tramite gli esponenziali o se, semplicemente, non usi un "formulario" con gli sviluppi notevoli.