Limite con funzioni trigonometriche, valore assoluto e parametro
Buongiorno a tutti, premetto di essere nuovo nel Forum. Avrei bisogno di un aiuto nella risoluzione del seguente limite al variare del parametro α (mi scuso se per alcuni potrà sembrare una banalità, ma proprio non riesco a venirne a capo 
) :
$ lim_{x \to 0} \frac {arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|}arctan(cosx) $
escludendo il caso in cui $ \alpha=\pm 6 $ (questo sono riuscito a farlo
).
Ringrazio in anticipo chiunque possa aiutarmi.
) :$ lim_{x \to 0} \frac {arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|}arctan(cosx) $
escludendo il caso in cui $ \alpha=\pm 6 $ (questo sono riuscito a farlo
).Ringrazio in anticipo chiunque possa aiutarmi.
Risposte
Ciao, benvenuto!
Cosa hai provato a fare? Hai sviluppato con Taylor il numeratore?
Scrivici i passaggi, almeno possiamo verificare eventuali errori; in generale è sempre utile vedere come qualcuno approccia il problema per dare un aiuto.
Cosa hai provato a fare? Hai sviluppato con Taylor il numeratore?
Scrivici i passaggi, almeno possiamo verificare eventuali errori; in generale è sempre utile vedere come qualcuno approccia il problema per dare un aiuto.
$ lim_{x \to 0} \frac{1}{arctan(cosx)} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } = \frac{4}{\pi} lim_{x \to 0} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } $Ciao, grazie per la risposta fulminea 
. Credo di aver risolto, almeno in parte, ecco cosa ho fatto:
1. Ho separato in due pezzi: $ lim_{x \to 0} \frac{1}{arctan(cosx)} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } = \frac{4}{\pi} lim_{x \to 0} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } $
2. Usando gli sviluppi di Taylor al numeratore:
$ arctan(sinx)-xcosx = $
$ =x-\frac{x^3}{2}+\frac{3}{8}x^5+o(x^5)-x(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+o(x^6)) =$
$ = (\frac{3}{8}-\frac{1}{24})x^5+o(x^5) = \frac{1}{3}x^5+o(x^5) $
Quindi ho asserito che $ arctan(sinx)-xcosx \quad ~_{x \to 0} \quad \frac{1}{3}x^5 $.
3. Si ha che: $ \frac{4}{\pi} lim_{x \to 0} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } = \frac{4}{3\pi} lim_{x \to 0} \frac{x^5}{x^{6-|\alpha|} } = \frac{4}{3\pi} lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{1-|\alpha|} } $
dunque: \( \lim_{x \to 0} {f(x)}=
\begin{cases}
\infty & -1<\alpha<1\\
\frac{4}{3\pi} & \alpha=\pm1\\
0 & \alpha<-1 \vee \alpha>1
\end{cases} \)
(non ho valutato più esplicitamente il primo caso poichè mi interessava solo sapere dove il limite valeva zero).
Sperando di non aver fatto errorii di trascrizione, credi possa essere corretto?
. Credo di aver risolto, almeno in parte, ecco cosa ho fatto:1. Ho separato in due pezzi: $ lim_{x \to 0} \frac{1}{arctan(cosx)} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } = \frac{4}{\pi} lim_{x \to 0} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } $
2. Usando gli sviluppi di Taylor al numeratore:
$ arctan(sinx)-xcosx = $
$ =x-\frac{x^3}{2}+\frac{3}{8}x^5+o(x^5)-x(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+o(x^6)) =$
$ = (\frac{3}{8}-\frac{1}{24})x^5+o(x^5) = \frac{1}{3}x^5+o(x^5) $
Quindi ho asserito che $ arctan(sinx)-xcosx \quad ~_{x \to 0} \quad \frac{1}{3}x^5 $.
3. Si ha che: $ \frac{4}{\pi} lim_{x \to 0} \frac{arctan(sinx)-xcosx}{x^{6-|\alpha|} } = \frac{4}{3\pi} lim_{x \to 0} \frac{x^5}{x^{6-|\alpha|} } = \frac{4}{3\pi} lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{1-|\alpha|} } $
dunque: \( \lim_{x \to 0} {f(x)}=
\begin{cases}
\infty & -1<\alpha<1\\
\frac{4}{3\pi} & \alpha=\pm1\\
0 & \alpha<-1 \vee \alpha>1
\end{cases} \)
(non ho valutato più esplicitamente il primo caso poichè mi interessava solo sapere dove il limite valeva zero).
Sperando di non aver fatto errorii di trascrizione, credi possa essere corretto?
Mi viene esattamente come te le uniche cose che mi sento di dirti sono che:
1) Non si va al limite a pezzi, quindi ti devi portare dietro $\arctan \cos x$ fino alla fine;
2) L'$o$-piccolo va inserito anche al numeratore del limite dopo aver fatto i conti a parte, poi raccoglierai $x^5$ e la frazione $\frac{x^5}{o(x^5)}$ tenderà a zero.
le uniche cose che mi sento di dirti sono che:1) Non si va al limite a pezzi, quindi ti devi portare dietro $\arctan \cos x$ fino alla fine;
2) L'$o$-piccolo va inserito anche al numeratore del limite dopo aver fatto i conti a parte, poi raccoglierai $x^5$ e la frazione $\frac{x^5}{o(x^5)}$ tenderà a zero.
Attenzione solo che per $- 1 < \alpha < 1 $ il limite proposto non esiste ed invece esiste se $x \to 0^+ $
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