Limite con funzioni trigonometriche
Salve,
sia f(x) una funzione tale che $lim f(x) =$ -inf.
x-->inf
Studiare al variare di c in R il seguente limite:
$lim (f(x)(c+cos(x))$
x-->inf
Come risolvereste un esercizio del genere?
Ho provato a considerare i possibili valori della c; se c>1 o c<-1 non dovrebbero esserci problemi, ma se |c|<1? E se c=1, c=-1?
Grazie
Ciao
Enea
sia f(x) una funzione tale che $lim f(x) =$ -inf.
x-->inf
Studiare al variare di c in R il seguente limite:
$lim (f(x)(c+cos(x))$
x-->inf
Come risolvereste un esercizio del genere?
Ho provato a considerare i possibili valori della c; se c>1 o c<-1 non dovrebbero esserci problemi, ma se |c|<1? E se c=1, c=-1?
Grazie
Ciao
Enea
Risposte
Conecentriamoci sul secondo fattore $(c+cosx)$.
è chiaro che essendo il coseno una funzione che non ammette limite, in quanto oscilla tra -1 ed 1, se esso viene moltiplicato per una funzione infinita le fa assumere il suo andamento oscillatorio. Inquesto caso quindi non esistendo un intorno di un punto sulle ascisse tale che la funzione calcolata in ogni intorno piccolo a piacere di infinito sia contenuto in esso ossia: $notexistsV_l,\forallU_{x_0} \\ {x_0}:f(U_{x_0})\subeV_l$
Quando è quindi che il coseno "danneggia" l'andamento della funzione? Quando il secondo fattore è libero di oscillare tra valori di segno opposto, quindi dato che $-1\cosx<1$ deve essere $|c|<1$. per questi valori di c il limite esiste ed è:
$\lim_{x\to+infty}(f(x)(c+cosx))=-\infty:c>1$
$\lim_{x\to+infty}(f(x)(c+cosx))=\infty:c<1$
In tutti gli alti casi il limte non esiste.
è chiaro che essendo il coseno una funzione che non ammette limite, in quanto oscilla tra -1 ed 1, se esso viene moltiplicato per una funzione infinita le fa assumere il suo andamento oscillatorio. Inquesto caso quindi non esistendo un intorno di un punto sulle ascisse tale che la funzione calcolata in ogni intorno piccolo a piacere di infinito sia contenuto in esso ossia: $notexistsV_l,\forallU_{x_0} \\ {x_0}:f(U_{x_0})\subeV_l$
Quando è quindi che il coseno "danneggia" l'andamento della funzione? Quando il secondo fattore è libero di oscillare tra valori di segno opposto, quindi dato che $-1\cosx<1$ deve essere $|c|<1$. per questi valori di c il limite esiste ed è:
$\lim_{x\to+infty}(f(x)(c+cosx))=-\infty:c>1$
$\lim_{x\to+infty}(f(x)(c+cosx))=\infty:c<1$
In tutti gli alti casi il limte non esiste.
Grazie mille.
Errore mio però è stato quello di pensare che se |c|<1 il limite poteva in qualche modo esistere, poichè la quantità tra parentesi poteva essere sia positiva che negativa. Ma non ho pensato che essendo moltiplicato (e non sommato) ad una quantità che va a -inf fa si che prevalga l'irregolarità.
Grazie
Ciao
Enea
Errore mio però è stato quello di pensare che se |c|<1 il limite poteva in qualche modo esistere, poichè la quantità tra parentesi poteva essere sia positiva che negativa. Ma non ho pensato che essendo moltiplicato (e non sommato) ad una quantità che va a -inf fa si che prevalga l'irregolarità.
Grazie
Ciao
Enea
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