Limite con funzione logaritmica, dubbio solo sul risultato

[Chiò1]

Salve a tutti ragazzi, sono alle prese con questo limite e spero che qualcuno di voi possa darmi una mano

$limx->+∞[ log((x-1)/(x+1))^(9x^3)]$

ecco come procedo io

aggiungo e sottraggo 1 al numeratore

$limx->+∞[ log((x+1)/(x+1) -2/(x+1))^(9x^3)]$

$limx->+∞[ log((1)-2/(x+1))^(9x^3)]$

moltiplico e divido l'esponente per x+1

$limx->+∞[ log(((1)-2/(x+1))^(x+1))^((9x^3)/(x+1))]$

applico il limite notevole di nepero ottenendo $e^-2$, l'esponente $(9x^3)/(x+1)$ viene più infinito quindi infine ho

$limx->+∞[ log(e^-∞)]$

i passaggi sono tutti giusti? ora viene il mio dilemma, quanto fa loge^meno infinito? qualcuno mi spiega?

[ostrogoto1]

per $ yrarr+oo $ $ e^(-y)rarr0 $ quindi $ log(e^(-y))rarr-oo $ poiche' $ log(z)rarr -oo $ per $ zrarr0 $
In un altra maniera:
$ log (e^-2)^((9x^3)/(x+1))= (9x^3)/(x+1)log(e^(-2))=(9x^3)/(x+1)(-2)rarr-oo$ per $ xrarr+oo $ (suppongo logaritmo in base e nell'ultima uguaglianza)

Comunque il limite e' piu' semplice se usi il limite notevole:
$ lim (log_a (1+f(x)))/f(x)=1/ln(a) $ se $ f(x)rarr0 $

oppure per $ x>2 $ vale $ 9x^3log(1/(x+1))<9x^3log((x-1)/(x+1)) $ da cui il limite.

[Chiò1]

Grazie mille ostrogoto, non sapevo quanto valeva il $log(e^(-∞))$ volevo chiederti un'altra cosa, se facessi il cambiamento di variabile ponendo $-2/(x+1) = 1/t$ , t tende a +infinito o -infinito?

[ostrogoto1]

Per esempio riscrivendo l'espressione $ 1/t=-2/(1+x) $ si ha che
per $ xrarr+oo" " t=-(x+1)/2rarr-oo $
o in maniera piu' bizantina: $ -2/(1+x)rarr0 $ per $ xrarr+oo $ et $ -2/(1+x)<0 $ quindi $ 1/t<0 $ quindi $ trarr-oo $

P.S. Guarda che l'espressione $ log(e^(-oo)) $ e' "poco matematica" in quanto $ e^x $ e' definito solitamente sull'asse reale, non su $ mathbb(R) $ esteso ossia $ mathbb(R) $ con l'aggiunta di $ +oo,-oo $ ...cerca di evitarla.

[Chiò1]

ti ringrazio ostrogoto