Limite con funzione implicita
Ciao, sto svolgendo quest'esercizio e chiedo una conferma su quanto ho fatto.
Calcolare il limite: $ lim_(x -> 0) (f(x)+x)/x $ dove $ f(x) $ è la funzione definita implicitamente, in un intorno di $ (0, 0) $, dall'equazione: $ F(x,y)=y+x^2siny+xcosy+xy=0 $.
Partendo da quanto afferma l'esercizio, verifico che siano soddisfatte le ipotesi del Teorema del Dini. In particolare, $ F_y(0,0)=1\ne0 $. Allora posso applicare lo sviluppo di Taylor alla funzione implicita, per cui risulta:
$ f(x)=f(x_0)-(F_x(x_0, f(x_0)))/(F_y(x_0,f(x_0)))x+o(x)=-x+o(x) $, essendo $ F_x=2xsiny+cosy+y $.
Allora il limite di partenza diventa: $ lim_(x -> 0) (-x+o(x)+x)/x=lim_(x -> 0)(o(x))/x=0 $
Il procedimento è corretto o ho fatto qualche passaggio sbagliato? Grazie!
Calcolare il limite: $ lim_(x -> 0) (f(x)+x)/x $ dove $ f(x) $ è la funzione definita implicitamente, in un intorno di $ (0, 0) $, dall'equazione: $ F(x,y)=y+x^2siny+xcosy+xy=0 $.
Partendo da quanto afferma l'esercizio, verifico che siano soddisfatte le ipotesi del Teorema del Dini. In particolare, $ F_y(0,0)=1\ne0 $. Allora posso applicare lo sviluppo di Taylor alla funzione implicita, per cui risulta:
$ f(x)=f(x_0)-(F_x(x_0, f(x_0)))/(F_y(x_0,f(x_0)))x+o(x)=-x+o(x) $, essendo $ F_x=2xsiny+cosy+y $.
Allora il limite di partenza diventa: $ lim_(x -> 0) (-x+o(x)+x)/x=lim_(x -> 0)(o(x))/x=0 $
Il procedimento è corretto o ho fatto qualche passaggio sbagliato? Grazie!
Risposte
Mi sembra correttore ma aspetta qualcuno piu esperto di me 
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