Limite con formule di Taylor?
$lim_(x->0+)((sinx)^(2) + 2log(cosx)) / (x^(α) * (e^(x) - sqrt(1+2x)))$
al variare di alfa che appartiene a R.
ho utilizzato le formule di taylor e come risultato ho ottenuto $(x)^(4) / (4x^(α) * x^(2))$ , solo che wolfram mi dà un risultato diverso,ovvero 0 se alfa è minore di 2, -1/2 se alfa è =2 e -∞ se alfa >2.
Chiedo a qualche esperto che riesce velocemente a risolvere il calcolo di dirmi quanto gli riporta,perchè io non sono assolutamente sicuro di aver fatto bene e wolfram direi che non sbaglia sui limiti. Grazie !
al variare di alfa che appartiene a R.
ho utilizzato le formule di taylor e come risultato ho ottenuto $(x)^(4) / (4x^(α) * x^(2))$ , solo che wolfram mi dà un risultato diverso,ovvero 0 se alfa è minore di 2, -1/2 se alfa è =2 e -∞ se alfa >2.
Chiedo a qualche esperto che riesce velocemente a risolvere il calcolo di dirmi quanto gli riporta,perchè io non sono assolutamente sicuro di aver fatto bene e wolfram direi che non sbaglia sui limiti. Grazie !
Risposte
Io non sono affato un esperto però voglio proporre una soluzione 
Allora
$lim_(x->0+)((sinx)^(2) + 2log(cosx)) / (x^(α) * (e^(x) - sqrt(1+2x))) = (x^2 - x^4/3 - x^2 - x^4/6) / (x^a (1 + x + x^2/2 - 1 - x + x^2/2)) = (-x^4/2) / (x^a * x^2)$
A me verrebbe da dire
${(-1/2,if a=2),(0,if a<2),(oo,if a>2):}$
Aspetta però chi ne sa davvero di Analisi
L'unica cosa che ho fatto è stata sviluppare taylor per ogni pezzo di funzione, tutto qui, vediamo se è giusto
Come hai fatto a farti venire quello sviluppo? Al numeratore perchè hai $x^4$?
Allora
$lim_(x->0+)((sinx)^(2) + 2log(cosx)) / (x^(α) * (e^(x) - sqrt(1+2x))) = (x^2 - x^4/3 - x^2 - x^4/6) / (x^a (1 + x + x^2/2 - 1 - x + x^2/2)) = (-x^4/2) / (x^a * x^2)$
A me verrebbe da dire
${(-1/2,if a=2),(0,if a<2),(oo,if a>2):}$
Aspetta però chi ne sa davvero di Analisi
L'unica cosa che ho fatto è stata sviluppare taylor per ogni pezzo di funzione, tutto qui, vediamo se è giusto
Come hai fatto a farti venire quello sviluppo? Al numeratore perchè hai $x^4$?
$(sin(x))^(2) + 2log(cos(x)) = ( x - x^3/6 + o(x^4))^2 + 2 log[ 1 + ( - x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4) ) ]$
$= [ x - x^3/6 + o(x^4)]^2 + 2 [ - x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4) ] - [ - x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4) ]^2 $
$+ o( (- x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4))^2 )$
Svolgendo i conti ed osservando che, qualitativamente, il resto è $o(x^4)$ :
$= x^2 - x^4/3 - x^2 + x^4/12 - x^4/4 + o( x^4 )$
$= - x^4/2 + o( x^4 )$
Analogamente per il denominatore...
$= [ x - x^3/6 + o(x^4)]^2 + 2 [ - x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4) ] - [ - x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4) ]^2 $
$+ o( (- x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4))^2 )$
Svolgendo i conti ed osservando che, qualitativamente, il resto è $o(x^4)$ :
$= x^2 - x^4/3 - x^2 + x^4/12 - x^4/4 + o( x^4 )$
$= - x^4/2 + o( x^4 )$
Analogamente per il denominatore...
Ho corretto una svista... In sostanza ho solo reso più rigoroso lo sviluppo del numeratore che ha fatto Smaug.
...però al denominatore si sviluppa fino al secondo ordine?
Vuoi sapere se è corretto?
"Seneca":
Ho corretto una svista... In sostanza ho solo reso più rigoroso lo sviluppo del numeratore che ha fatto Smaug.
Certo hai fatto benissimo, è probabile che non siano molto chiari i miei passaggi, avendo dato per scontato molte cose...
"Seneca":
Vuoi sapere se è corretto?
Si
La parte rognosa era il numeratore. Comunque:
$e^x - sqrt( 1 + 2x ) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2) - ( 1 + x - x^2/2 + o(x^2) ) = x^2 + o(x^2)$
Quindi direi che va bene.
$e^x - sqrt( 1 + 2x ) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2) - ( 1 + x - x^2/2 + o(x^2) ) = x^2 + o(x^2)$
Quindi direi che va bene.
"Seneca":
La parte rognosa era il numeratore. Comunque:
$e^x - sqrt( 1 + 2x ) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2) - ( 1 + x - x^2/2 + o(x^2) ) = x^2 + o(x^2)$
Quindi direi che va bene.
Grazie Seneca
infatti era al numeratore che non mi portava,grazie ragazzi !
cmq non capisco ancora benissimo perchè eliminate tutti i termini superiori a x^4....forse perchè ci sono gli opiccoli?
"Seneca":
$(sin(x))^(2) + 2log(cos(x)) = ( x - x^3/6 + o(x^4))^2 + 2 log[ 1 + ( - x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4) ) ]$
$= [ x - x^3/6 + o(x^4)]^2 + 2 [ - x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4) ] - [ - x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4) ]^2 $
$+ o( (- x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4))^2 )$
Svolgendo i conti ed osservando che, qualitativamente, il resto è $o(x^4)$ :
$= x^2 - x^4/3 - x^2 + x^4/12 - x^4/4 + o( x^4 )$
$= - x^4/2 + o( x^4 )$
Analogamente per il denominatore...
un'altra cosa, perchè ti viene anche questo termine? $+ o( (- x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4))^2 )$
"milanesinho":
cmq non capisco ancora benissimo perchè eliminate tutti i termini superiori a x^4....forse perchè ci sono gli opiccoli?
Esatto. Infatti tutte le potenze $x^k$ con $k > 4$ appartengono a questa classe resto che è $o(x^4)$ (è superfluo scriverle, visto che complessivamente l'informazione sul resto è "più scarsa").
"milanesinho":
un'altra cosa, perchè ti viene anche questo termine? $+ o( (- x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4))^2 )$
Sviluppando $log(1 + y)$ trovo $y - y^2/2 + o(y^2)$. $o(y)$ è proprio quel pezzo lì, dove $y$ è $- x^2/2 + x^4/(4!) + o(x^4)$.
Ti torna?
ok grazie mille ! ma sei laureato o cosa? 
Figurati.
Eh, non ancora. Sto conseguendo appena la laurea triennale.
Eh, non ancora. Sto conseguendo appena la laurea triennale.
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