Limite con forma indeterminata
Ciao a tutti, sono nuovo non vorrei sbagliare qualcosa, in ogni caso mi sono letto bene le regole quindi ogni errore non è assolutamente voluto.
Fra pochi giorni ho il compito di Analisi I e provando a fare qualche esercizio mi sono imbattuto in questo limite:
$ lim (1+sin(x))^(2/x) per x --> 0 $.
Dopo aver assodato che è una forma indeterminata 1 all'infinito, l'ho ricondotto ad una frazione per applicarci De l'Hopital.
Quindi considerando f(x)=(1+sin(x)) e g(x)=(2/x), l'ho riscritto come: e^(lim (ln(f(x))/g(x)).
Facendo De l'Hopital il risultato mi è venuto fuori e^2.
Il problema è che non sono assolutamente sicuro della legalità del procedimento che ho fatto e tanto meno del risultato finale, che non ho modo di verificare se è corretto!
Per questo chiedo a qualcuno di voi, che riesce a districarsi meglio di me con i limiti, se ha due minuti per farlo e dirmi il suo risultato. Grazie mille!
Fra pochi giorni ho il compito di Analisi I e provando a fare qualche esercizio mi sono imbattuto in questo limite:
$ lim (1+sin(x))^(2/x) per x --> 0 $.
Dopo aver assodato che è una forma indeterminata 1 all'infinito, l'ho ricondotto ad una frazione per applicarci De l'Hopital.
Quindi considerando f(x)=(1+sin(x)) e g(x)=(2/x), l'ho riscritto come: e^(lim (ln(f(x))/g(x)).
Facendo De l'Hopital il risultato mi è venuto fuori e^2.
Il problema è che non sono assolutamente sicuro della legalità del procedimento che ho fatto e tanto meno del risultato finale, che non ho modo di verificare se è corretto!
Per questo chiedo a qualcuno di voi, che riesce a districarsi meglio di me con i limiti, se ha due minuti per farlo e dirmi il suo risultato. Grazie mille!
Risposte
ciao, io lo risolverei applicanodo qualche limite notevole...
$ lim ( 1+senx)^(2/x) $
sai che $senx $ con gli infinitesi si può approssimare a $x$
quindi riscrivi
$lim (1+x)^(2/x)$ ma $lim (1+x)^(1/x)*a = e^a$ quando la x tende a 0
quindi nel tuo caso avrai come risultato $e^2$, quindi il risultato che hai ottenuot applicando l'hopital è giusto
$ lim ( 1+senx)^(2/x) $
sai che $senx $ con gli infinitesi si può approssimare a $x$
quindi riscrivi
$lim (1+x)^(2/x)$ ma $lim (1+x)^(1/x)*a = e^a$ quando la x tende a 0
quindi nel tuo caso avrai come risultato $e^2$, quindi il risultato che hai ottenuot applicando l'hopital è giusto
$e^[ lim_( x -> 0) 2 * (log( 1 + sin(x)))/x]$
1) $sin(x)$ è un infinitesimo equivalente ad $x$. E' lecito il seguente passaggio:
$e^[ lim_( x -> 0) 2 * (log( 1 + sin(x)))/x] = e^[ lim_( x -> 0) 2 * (log( 1 + x))/x] = e^2$
2) Avresti ottenuto lo stesso risultato dividendo numeratore e denominatore per $sin(x)$.
1) $sin(x)$ è un infinitesimo equivalente ad $x$. E' lecito il seguente passaggio:
$e^[ lim_( x -> 0) 2 * (log( 1 + sin(x)))/x] = e^[ lim_( x -> 0) 2 * (log( 1 + x))/x] = e^2$
2) Avresti ottenuto lo stesso risultato dividendo numeratore e denominatore per $sin(x)$.
Ringrazio tutti e due non sapevo della possibilità del passaggio a $x$ da $sin x è$.
Giusto per capire meglio quando $x->0$, se ho ben capito posso trasformare $sin(x)$ in $x$?
Comunque mi conforta il fatto che il risultato sia giusto
Giusto per capire meglio quando $x->0$, se ho ben capito posso trasformare $sin(x)$ in $x$?
Comunque mi conforta il fatto che il risultato sia giusto
Attenzione. Esiste un principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti.
Se il limite del rapporto di due infinitesimi $f/g$ ha limite, allora questo limite resta invariato se al numeratore e al denominatore si sostituiscono infinitesimi equivalenti.
Se il limite del rapporto di due infinitesimi $f/g$ ha limite, allora questo limite resta invariato se al numeratore e al denominatore si sostituiscono infinitesimi equivalenti.
Un modo più semplice e meno rischioso (sostituire brutalmente gli infinitesimi è sempre difficile da giustificare come si deve).
Basta notare che:
[tex]$(1+\sin x)^\frac{2}{x}=\left[ (1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}}\right]^{2\frac{\sin x}{x}}$[/tex]
e che:
[tex]$\lim_{x\to 0} (1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}} =e$[/tex]
[tex]$\lim_{x\to 0} 2\frac{\sin x}{x} =2$[/tex].
Basta notare che:
[tex]$(1+\sin x)^\frac{2}{x}=\left[ (1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}}\right]^{2\frac{\sin x}{x}}$[/tex]
e che:
[tex]$\lim_{x\to 0} (1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}} =e$[/tex]
[tex]$\lim_{x\to 0} 2\frac{\sin x}{x} =2$[/tex].
"Gugo82":
Un modo più semplice e meno rischioso (sostituire brutalmente gli infinitesimi è sempre difficile da giustificare come si deve).
Basta notare che...
Basterebbe avere il tuo stesso colpo d'occhio
Comunque grazie. Diciamo che il metodo che ho usato io è l'ultima risorsa da usare, laboriosa ma sempre applicabile. In effetti però dovrei cercare di farmi un po' la mano con questi limiti per evitare minuti di calcoli di derivate & Co.
Grazie ancora!
"silstar":
sai che $senx $ con gli infinitesi si può approssimare a $x$
Esatto, si può approssimare... diciamo che se il limite fosse leggermente più complicato la sostituzione $sen(x)=x$ potrebbe portarti facilmente a commettere qualche errore (e probabilmente qualche critica del prof!)
In realtà sfruttando Taylor si può dire che $sen(x)$ è approssimabile a $x$ con un errore ragionevolmente piccolo, tanto che la forma corretta, sarebbe:
$sen(x)=x+o(x)$
dove $o(x)$ rappresenta,appunto, un "qualcosa" che va a $0$ più velocemente di $x$ tanto da rendere ragionevole l'approssimazione di $sen(x)$ a $x$.
Senza aprire un altro topic posto qui un dubbio che mi è venuto riguardo l'utilizzo del teorema di De l'Hopital:
Se ho un limite di una funzione composta nella forma:
$lim f(x)*(g(x)/(h(x)))$, per le proprietà dei limiti posso ricondurlo alla forma:
$lim f(x)*lim(g(x)/(h(x)))$, ma da qui posso applicare, se rispetta le condizioni necessarie, De l'Hopital solo al secondo limite?
Facendo un esempio pratico se ho:
$lim _(x->1) log(x)*((x^2+x-2)/(x^2-x))$, riconducendolo alla forma:
$lim _(x->1) log(x)*lim _(x->1) ((x^2+x-2)/(x^2-x))$, posso applicare De l'Hopital solo al secondo limite NON applicandolo al primo?
Grazie!
Se ho un limite di una funzione composta nella forma:
$lim f(x)*(g(x)/(h(x)))$, per le proprietà dei limiti posso ricondurlo alla forma:
$lim f(x)*lim(g(x)/(h(x)))$, ma da qui posso applicare, se rispetta le condizioni necessarie, De l'Hopital solo al secondo limite?
Facendo un esempio pratico se ho:
$lim _(x->1) log(x)*((x^2+x-2)/(x^2-x))$, riconducendolo alla forma:
$lim _(x->1) log(x)*lim _(x->1) ((x^2+x-2)/(x^2-x))$, posso applicare De l'Hopital solo al secondo limite NON applicandolo al primo?
Grazie!
"Jowbie":
Senza aprire un altro topic posto qui un dubbio che mi è venuto riguardo l'utilizzo del teorema di De l'Hopital:
Se ho un limite di una funzione composta nella forma:
$lim f(x)*(g(h)/(h(x)))$, per le proprietà dei limiti posso ricondurlo alla forma:
$lim f(x)*lim(g(h)/(h(x)))$, ma da qui posso applicare, se rispetta le condizioni necessarie, De l'Hopital solo al secondo limite?
Facendo un esempio pratico se ho:
$lim _(x->1) log(x)*((x^2+x-2)/(x^2-x))$, riconducendolo alla forma:
$lim _(x->1) log(x)*lim _(x->1) ((x^2+x-2)/(x^2-x))$, posso applicare De l'Hopital solo al secondo limite NON applicandolo al primo?
Grazie!
Forse intendevi scrivere $g(x)$ e non $g(h)$.
Ad ogni modo puoi farlo proprio perché sussiste il teorema che dice che il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti.
"Seneca":
Forse intendevi scrivere $g(x)$ e non $g(h)$.
Ad ogni modo puoi farlo proprio perché sussiste il teorema che dice che il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti.
Si chiaramente ho sbagliato a scrivere
.Ok grazie mille!
Ovviamente se poi ottieni una forma di indeterminazione devi escogitare altre strategie; ma penso fosse sottointeso.
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